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Suma de la serie/ ((-1)^(n+1)*(x-3)^n)/((n^2+4)*2^n)

Suma de la serie ((-1)^(n+1)*(x-3)^n)/((n^2+4)*2^n)


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo                    
____                    
\   `                   
 \        n + 1        n
  \   (-1)     *(x - 3) 
   )  ------------------
  /      / 2    \  n    
 /       \n  + 4/*2     
/___,                   
n = 1
∑n=1∞(−1)n+1(x−3)n2n(n2+4)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(-1\right)^{n + 1} \left(x - 3\right)^{n}}{2^{n} \left(n^{2} + 4\right)} 
Sum(((-1)^(n + 1)*(x - 3)^n)/(((n^2 + 4)*2^n)), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
(−1)n+1(x−3)n2n(n2+4)\frac{\left(-1\right)^{n + 1} \left(x - 3\right)^{n}}{2^{n} \left(n^{2} + 4\right)}
Es la serie del tipo
an(cx−x0)dna_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=x0+lim⁡n→∞∣anan+1∣cR^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=(−1)n+1⋅2−nn2+4a_{n} = \frac{\left(-1\right)^{n + 1} \cdot 2^{- n}}{n^{2} + 4}
y
x0=3x_{0} = 3
,
d=1d = 1
,
c=1c = 1
entonces
R=3+lim⁡n→∞(2−n2n+1((n+1)2+4)n2+4)R = 3 + \lim_{n \to \infty}\left(\frac{2^{- n} 2^{n + 1} \left(\left(n + 1\right)^{2} + 4\right)}{n^{2} + 4}\right)
Tomamos como el límite
hallamos
R1=5R^{1} = 5
R=5R = 5
Respuesta [src] 
  oo                         
____                         
\   `                        
 \        1 + n  -n         n
  \   (-1)     *2  *(-3 + x) 
   )  -----------------------
  /                 2        
 /             4 + n         
/___,                        
n = 1
∑n=1∞(−1)n+1⋅2−n(x−3)nn2+4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(-1\right)^{n + 1} \cdot 2^{- n} \left(x - 3\right)^{n}}{n^{2} + 4} 
Sum((-1)^(1 + n)*2^(-n)*(-3 + x)^n/(4 + n^2), (n, 1, oo))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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