Sr Examen

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ln^2(n)*ln(1+1/n)

Suma de la serie ln^2(n)*ln(1+1/n)



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo                    
 ___                    
 \  `                   
  \      2       /    1\
   )  log (n)*log|1 + -|
  /              \    n/
 /__,                   
n = 1                   
$$\sum_{n=1}^{\infty} \log{\left(n \right)}^{2} \log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)}$$
Sum(log(n)^2*log(1 + 1/n), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\log{\left(n \right)}^{2} \log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \log{\left(n \right)}^{2} \log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\log{\left(n \right)}^{2} \log{\left(1 + \frac{1}{n} \right)}}{\log{\left(1 + \frac{1}{n + 1} \right)} \log{\left(n + 1 \right)}^{2}}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 1$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Respuesta numérica
La serie diverge
Gráfico
Suma de la serie ln^2(n)*ln(1+1/n)

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie