Sr Examen

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(n^3+3n^2+5)/(n*(n^16+n^4+1)^(1/5))

Suma de la serie (n^3+3n^2+5)/(n*(n^16+n^4+1)^(1/5))



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo                      
_____                     
\    `                    
 \         3      2       
  \       n  + 3*n  + 5   
   \   -------------------
   /        ______________
  /      5 /  16    4     
 /     n*\/  n   + n  + 1 
/____,                    
n = 1                     
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(n^{3} + 3 n^{2}\right) + 5}{n \sqrt[5]{\left(n^{16} + n^{4}\right) + 1}}$$
Sum((n^3 + 3*n^2 + 5)/((n*(n^16 + n^4 + 1)^(1/5))), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{\left(n^{3} + 3 n^{2}\right) + 5}{n \sqrt[5]{\left(n^{16} + n^{4}\right) + 1}}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{n^{3} + 3 n^{2} + 5}{n \sqrt[5]{n^{16} + n^{4} + 1}}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 1\right) \left(n^{3} + 3 n^{2} + 5\right) \sqrt[5]{\left(n + 1\right)^{16} + \left(n + 1\right)^{4} + 1}}{n \sqrt[5]{n^{16} + n^{4} + 1} \left(\left(n + 1\right)^{3} + 3 \left(n + 1\right)^{2} + 5\right)}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 1$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Respuesta [src]
  oo                      
_____                     
\    `                    
 \             3      2   
  \       5 + n  + 3*n    
   \   -------------------
   /        ______________
  /      5 /      4    16 
 /     n*\/  1 + n  + n   
/____,                    
n = 1                     
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3} + 3 n^{2} + 5}{n \sqrt[5]{n^{16} + n^{4} + 1}}$$
Sum((5 + n^3 + 3*n^2)/(n*(1 + n^4 + n^16)^(1/5)), (n, 1, oo))
Gráfico
Suma de la serie (n^3+3n^2+5)/(n*(n^16+n^4+1)^(1/5))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie