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Suma de la serie/ ((n!)(x+2)^n)/(n+5)

Suma de la serie ((n!)(x+2)^n)/(n+5)


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo             
____             
\   `            
 \              n
  \   n!*(x + 2) 
  /   -----------
 /       n + 5   
/___,            
n = 1
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(x + 2\right)^{n} n!}{n + 5}$$ 
Sum((factorial(n)*(x + 2)^n)/(n + 5), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{\left(x + 2\right)^{n} n!}{n + 5}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{n!}{n + 5}$$
y
$$x_{0} = -2$$
,
$$d = 1$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$R = -2 + \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(n + 6\right) \left|{\frac{n!}{\left(n + 1\right)!}}\right|}{n + 5}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{1} = -2$$
$$R = -2$$
Respuesta [src] 
  oo             
____             
\   `            
 \           n   
  \   (2 + x) *n!
  /   -----------
 /       5 + n   
/___,            
n = 1
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(x + 2\right)^{n} n!}{n + 5}$$ 
Sum((2 + x)^n*factorial(n)/(5 + n), (n, 1, oo))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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