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(6n^2-n^4+n)/(9n-n^6+12n^2)

Suma de la serie (6n^2-n^4+n)/(9n-n^6+12n^2)



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo                  
____                  
\   `                 
 \        2    4      
  \    6*n  - n  + n  
   )  ----------------
  /          6       2
 /    9*n - n  + 12*n 
/___,                 
n = 1                 
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n + \left(- n^{4} + 6 n^{2}\right)}{12 n^{2} + \left(- n^{6} + 9 n\right)}$$
Sum((6*n^2 - n^4 + n)/(9*n - n^6 + 12*n^2), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{n + \left(- n^{4} + 6 n^{2}\right)}{12 n^{2} + \left(- n^{6} + 9 n\right)}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{- n^{4} + 6 n^{2} + n}{- n^{6} + 12 n^{2} + 9 n}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{\left(- n^{4} + 6 n^{2} + n\right) \left(9 n - \left(n + 1\right)^{6} + 12 \left(n + 1\right)^{2} + 9\right)}{\left(- n^{6} + 12 n^{2} + 9 n\right) \left(n - \left(n + 1\right)^{4} + 6 \left(n + 1\right)^{2} + 1\right)}}\right|$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 1$$
Velocidad de la convergencia de la serie
Respuesta [src]
  oo                    
____                    
\   `                   
 \           4      2   
  \     n - n  + 6*n    
   )  ------------------
  /      6             2
 /    - n  + 9*n + 12*n 
/___,                   
n = 1                   
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{- n^{4} + 6 n^{2} + n}{- n^{6} + 12 n^{2} + 9 n}$$
Sum((n - n^4 + 6*n^2)/(-n^6 + 9*n + 12*n^2), (n, 1, oo))
Respuesta numérica [src]
5.58116406266369789984494893259
5.58116406266369789984494893259
Gráfico
Suma de la serie (6n^2-n^4+n)/(9n-n^6+12n^2)
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