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Suma de la serie/ n*3^(-n)*z^(-n)

Suma de la serie n*3^(-n)*z^(-n)


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo           
 ___           
 \  `          
  \      -n  -n
  /   n*3  *z  
 /__,          
n = 0
∑n=0∞z−n3−nn\sum_{n=0}^{\infty} z^{- n} 3^{- n} n 
Sum((n*3^(-n))*z^(-n), (n, 0, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
z−n3−nnz^{- n} 3^{- n} n
Es la serie del tipo
an(cz−z0)dna_{n} \left(c z - z_{0}\right)^{d n}
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
Rd=z0+lim⁡n→∞∣anan+1∣cR^{d} = \frac{z_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}
En nuestro caso
an=3−nna_{n} = 3^{- n} n
y
z0=0z_{0} = 0
,
d=−1d = -1
,
c=1c = 1
entonces
1R=lim⁡n→∞(3−n3n+1nn+1)\frac{1}{R} = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{- n} 3^{n + 1} n}{n + 1}\right)
Tomamos como el límite
hallamos
1R=3\frac{1}{R} = 3
R=0.333333333333333R = 0.333333333333333
Respuesta [src] 
/      1                1      
|--------------   for ----- < 1
|             2       3*|z|    
|    /     1 \                 
|3*z*|1 - ---|                 
|    \    3*z/                 
|                              
<  oo                          
| ___                          
| \  `                         
|  \      -n  -n               
|  /   n*3  *z      otherwise  
| /__,                         
|n = 0                         
\
{13z(1−13z)2for 13∣z∣<1∑n=0∞3−nnz−notherwise\begin{cases} \frac{1}{3 z \left(1 - \frac{1}{3 z}\right)^{2}} & \text{for}\: \frac{1}{3 \left|{z}\right|} < 1 \\\sum_{n=0}^{\infty} 3^{- n} n z^{- n} & \text{otherwise} \end{cases} 
Piecewise((1/(3*z*(1 - 1/(3*z))^2), 1/(3*|z|) < 1), (Sum(n*3^(-n)*z^(-n), (n, 0, oo)), True))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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