Sr Examen

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Suma de la serie (sinnx)/(n^3+1)



=

Solución

Ha introducido [src]
  oo          
____          
\   `         
 \    sin(n*x)
  \   --------
  /     3     
 /     n  + 1 
/___,         
n = 1         
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin{\left(n x \right)}}{n^{3} + 1}$$
Sum(sin(n*x)/(n^3 + 1), (n, 1, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{\sin{\left(n x \right)}}{n^{3} + 1}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = \frac{\sin{\left(n x \right)}}{n^{3} + 1}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = 0$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$1 = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{\left(\left(n + 1\right)^{3} + 1\right) \left|{\frac{\sin{\left(n x \right)}}{\sin{\left(x \left(n + 1\right) \right)}}}\right|}{n^{3} + 1}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$R^{0} = 1$$

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie