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Suma de la serie/ 2^n/x^n

Suma de la serie 2^n/x^n


∑
=

Solución

Ha introducido [src] 
  oo    
____    
\   `   
 \     n
  \   2 
   )  --
  /    n
 /    x 
/___,   
n = 0
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n}}{x^{n}}$$ 
Sum(2^n/x^n, (n, 0, oo))
Radio de convergencia de la serie de potencias
Se da una serie:
$$\frac{2^{n}}{x^{n}}$$
Es la serie del tipo
$$a_{n} \left(c x - x_{0}\right)^{d n}$$
- serie de potencias.
El radio de convergencia de la serie de potencias puede calcularse por la fórmula:
$$R^{d} = \frac{x_{0} + \lim_{n \to \infty} \left|{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}}\right|}{c}$$
En nuestro caso
$$a_{n} = 2^{n}$$
y
$$x_{0} = 0$$
,
$$d = -1$$
,
$$c = 1$$
entonces
$$\frac{1}{R} = \lim_{n \to \infty}\left(2^{n} 2^{- n - 1}\right)$$
Tomamos como el límite
hallamos
$$\frac{1}{R} = \frac{1}{2}$$
$$R = 2$$
Respuesta [src] 
/     1             2     
|   -----      for --- < 1
|       2          |x|    
|   1 - -                 
|       x                 
|                         
<  oo                     
| ___                     
| \  `                    
|  \    n  -n             
|  /   2 *x     otherwise 
| /__,                    
\n = 0
$$\begin{cases} \frac{1}{1 - \frac{2}{x}} & \text{for}\: \frac{2}{\left|{x}\right|} < 1 \\\sum_{n=0}^{\infty} 2^{n} x^{- n} & \text{otherwise} \end{cases}$$ 
Piecewise((1/(1 - 2/x), 2/|x| < 1), (Sum(2^n*x^(-n), (n, 0, oo)), True))

    Ejemplos de hallazgo de la suma de la serie

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