Derivada de y=sin3x/cosx

Solución

Ha introducido [src]

sin(3*x)
--------
 cos(x)

$$\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$$

sin(3*x)/cos(x)

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Sustituimos $u = 3 x$ .
2. La derivada del seno es igual al coseno:
  
  $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x$ :
  1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
    1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
    Entonces, como resultado: $3$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $3 \cos{\left(3 x \right)}$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
  
  $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{\sin{\left(x \right)} \sin{\left(3 x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
Simplificamos:

$\frac{2 \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{2 \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

3*cos(3*x)   sin(x)*sin(3*x)
---------- + ---------------
  cos(x)            2       
                 cos (x)

$$\frac{\sin{\left(x \right)} \sin{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{3 \cos{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$$

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Segunda derivada [src]

              /         2   \                             
              |    2*sin (x)|            6*cos(3*x)*sin(x)
-9*sin(3*x) + |1 + ---------|*sin(3*x) + -----------------
              |        2    |                  cos(x)     
              \     cos (x) /                             
----------------------------------------------------------
                          cos(x)

$$\frac{\left(\frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \sin{\left(3 x \right)} + \frac{6 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} - 9 \sin{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$$

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Tercera derivada [src]

                                                                 /         2   \                
                                                                 |    6*sin (x)|                
                                                                 |5 + ---------|*sin(x)*sin(3*x)
                 /         2   \                                 |        2    |                
                 |    2*sin (x)|            27*sin(x)*sin(3*x)   \     cos (x) /                
-27*cos(3*x) + 9*|1 + ---------|*cos(3*x) - ------------------ + -------------------------------
                 |        2    |                  cos(x)                      cos(x)            
                 \     cos (x) /                                                                
------------------------------------------------------------------------------------------------
                                             cos(x)

$$\frac{9 \left(\frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \cos{\left(3 x \right)} + \frac{\left(\frac{6 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 5\right) \sin{\left(x \right)} \sin{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} - \frac{27 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} - 27 \cos{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$$

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Gráfico

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