Derivada de 2^log(x)*(e^(5*x)-1)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = 2^{\log{\left(x \right)}}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \log{\left(x \right)}$.

   2. $\frac{d}{d u} 2^{u} = 2^{u} \log{\left(2 \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}$:

      1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$.

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{2^{\log{\left(x \right)}} \log{\left(2 \right)}}{x}$

   $g{\left(x \right)} = e^{5 x} - 1$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $e^{5 x} - 1$ miembro por miembro:

      1. Sustituimos $u = 5 x$.

      2. Derivado $e^{u}$ es.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $5$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $5 e^{5 x}$

      4. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

      Como resultado de: $5 e^{5 x}$

   Como resultado de: $5 \cdot 2^{\log{\left(x \right)}} e^{5 x} + \frac{2^{\log{\left(x \right)}} \left(e^{5 x} - 1\right) \log{\left(2 \right)}}{x}$

2. Simplificamos:

   $\frac{2^{\log{\left(x \right)}} \left(5 x e^{5 x} - \left(1 - e^{5 x}\right) \log{\left(2 \right)}\right)}{x}$

Respuesta:

$\frac{2^{\log{\left(x \right)}} \left(5 x e^{5 x} - \left(1 - e^{5 x}\right) \log{\left(2 \right)}\right)}{x}$