Derivada de y=sqrt(x^3+4)*tg(x/2)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \sqrt{x^{3} + 4}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x^{3} + 4$.

   2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x^{3} + 4\right)$:

      1. diferenciamos $x^{3} + 4$ miembro por miembro:

         1. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

         2. La derivada de una constante $4$ es igual a cero.

         Como resultado de: $3 x^{2}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{3 x^{2}}{2 \sqrt{x^{3} + 4}}$

   $g{\left(x \right)} = \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      $\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

   2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \frac{x}{2}$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $\frac{1}{2}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \frac{x}{2}$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $\frac{1}{2}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

   Como resultado de: $\frac{3 x^{2} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2 \sqrt{x^{3} + 4}} + \frac{\sqrt{x^{3} + 4} \left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\right)}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x^{3} + \frac{3 x^{2} \sin{\left(x \right)}}{2} + 4}{\sqrt{x^{3} + 4} \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)}$

Respuesta:

$\frac{x^{3} + \frac{3 x^{2} \sin{\left(x \right)}}{2} + 4}{\sqrt{x^{3} + 4} \left(\cos{\left(x \right)} + 1\right)}$