Derivada de x/sqrt(x+sqrt(x))

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x$ y $g{\left(x \right)} = \sqrt{\sqrt{x} + x}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \sqrt{x} + x$.

   2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x} + x\right)$:

      1. diferenciamos $\sqrt{x} + x$ miembro por miembro:

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

         Como resultado de: $1 + \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{1 + \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{2 \sqrt{\sqrt{x} + x}}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- \frac{x \left(1 + \frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)}{2 \sqrt{\sqrt{x} + x}} + \sqrt{\sqrt{x} + x}}{\sqrt{x} + x}$

2. Simplificamos:

   $\frac{3 \sqrt{x} + 2 x}{4 \left(\sqrt{x} + x\right)^{\frac{3}{2}}}$

Respuesta:

$\frac{3 \sqrt{x} + 2 x}{4 \left(\sqrt{x} + x\right)^{\frac{3}{2}}}$