Derivada de x*exp(-x)-2/((cos(2x))*(sin(2x)))

1. diferenciamos $x e^{- x} - \frac{2}{\sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = x$ y $g{\left(x \right)} = e^{x}$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Derivado $e^{x}$ es.

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\left(- x e^{x} + e^{x}\right) e^{- 2 x}$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos $u = \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}$.

      2. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}$:

         1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

            $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

            $f{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Sustituimos $u = 2 x$.

            2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

               $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

               1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $2$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $- 2 \sin{\left(2 x \right)}$

            $g{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Sustituimos $u = 2 x$.

            2. La derivada del seno es igual al coseno:

               $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

               1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $2$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $2 \cos{\left(2 x \right)}$

            Como resultado de: $- 2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \frac{- 2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)}}$

      Entonces, como resultado: $\frac{2 \left(- 2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right)}{\sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)}}$

   Como resultado de: $\left(- x e^{x} + e^{x}\right) e^{- 2 x} + \frac{2 \left(- 2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right)}{\sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos^{2}{\left(2 x \right)}}$

2. Simplificamos:

   $- x e^{- x} - \frac{4}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}} + \frac{4}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}} + e^{- x}$

Respuesta:

$- x e^{- x} - \frac{4}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}} + \frac{4}{\sin^{2}{\left(2 x \right)}} + e^{- x}$