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Derivada de la función/ y=tan/ y=tan^nu

Derivada de y=tan^nu

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
   n   
tan (u)
tan⁡n(u)\tan^{n}{\left(u \right)} 
tan(u)^n
Solución detallada

  1. Sustituimos u=tan⁡(u)u = \tan{\left(u \right)}.

  2. Según el principio, aplicamos: unu^{n} tenemos nunu\frac{n u^{n}}{u}

  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddutan⁡(u)\frac{d}{d u} \tan{\left(u \right)}:

    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      tan⁡(u)=sin⁡(u)cos⁡(u)\tan{\left(u \right)} = \frac{\sin{\left(u \right)}}{\cos{\left(u \right)}}

    2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      dduf(u)g(u)=−f(u)ddug(u)+g(u)dduf(u)g2(u)\frac{d}{d u} \frac{f{\left(u \right)}}{g{\left(u \right)}} = \frac{- f{\left(u \right)} \frac{d}{d u} g{\left(u \right)} + g{\left(u \right)} \frac{d}{d u} f{\left(u \right)}}{g^{2}{\left(u \right)}}

      f(u)=sin⁡(u)f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)} y g(u)=cos⁡(u)g{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}.

      Para calcular dduf(u)\frac{d}{d u} f{\left(u \right)}:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

        ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

      Para calcular ddug(u)\frac{d}{d u} g{\left(u \right)}:

      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

        dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      sin⁡2(u)+cos⁡2(u)cos⁡2(u)\frac{\sin^{2}{\left(u \right)} + \cos^{2}{\left(u \right)}}{\cos^{2}{\left(u \right)}}

    Como resultado de la secuencia de reglas:

    n(sin⁡2(u)+cos⁡2(u))tan⁡n(u)cos⁡2(u)tan⁡(u)\frac{n \left(\sin^{2}{\left(u \right)} + \cos^{2}{\left(u \right)}\right) \tan^{n}{\left(u \right)}}{\cos^{2}{\left(u \right)} \tan{\left(u \right)}}

  4. Simplificamos:

    ntan⁡n−1(u)cos⁡2(u)\frac{n \tan^{n - 1}{\left(u \right)}}{\cos^{2}{\left(u \right)}}

Respuesta:

ntan⁡n−1(u)cos⁡2(u)\frac{n \tan^{n - 1}{\left(u \right)}}{\cos^{2}{\left(u \right)}}

Primera derivada [src] 
     n    /       2   \
n*tan (u)*\1 + tan (u)/
-----------------------
         tan(u)
n(tan⁡2(u)+1)tan⁡n(u)tan⁡(u)\frac{n \left(\tan^{2}{\left(u \right)} + 1\right) \tan^{n}{\left(u \right)}}{\tan{\left(u \right)}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
                        /           2        /       2   \\
     n    /       2   \ |    1 + tan (u)   n*\1 + tan (u)/|
n*tan (u)*\1 + tan (u)/*|2 - ----------- + ---------------|
                        |         2               2       |
                        \      tan (u)         tan (u)    /
n(tan⁡2(u)+1)(n(tan⁡2(u)+1)tan⁡2(u)−tan⁡2(u)+1tan⁡2(u)+2)tan⁡n(u)n \left(\tan^{2}{\left(u \right)} + 1\right) \left(\frac{n \left(\tan^{2}{\left(u \right)} + 1\right)}{\tan^{2}{\left(u \right)}} - \frac{\tan^{2}{\left(u \right)} + 1}{\tan^{2}{\left(u \right)}} + 2\right) \tan^{n}{\left(u \right)}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
                        /                                            2                   2                    2                    \
                        |             /       2   \     /       2   \     2 /       2   \        /       2   \        /       2   \|
     n    /       2   \ |           4*\1 + tan (u)/   2*\1 + tan (u)/    n *\1 + tan (u)/    3*n*\1 + tan (u)/    6*n*\1 + tan (u)/|
n*tan (u)*\1 + tan (u)/*|4*tan(u) - --------------- + ---------------- + ----------------- - ------------------ + -----------------|
                        |                tan(u)              3                   3                   3                  tan(u)     |
                        \                                 tan (u)             tan (u)             tan (u)                          /
n(tan⁡2(u)+1)(n2(tan⁡2(u)+1)2tan⁡3(u)−3n(tan⁡2(u)+1)2tan⁡3(u)+6n(tan⁡2(u)+1)tan⁡(u)+2(tan⁡2(u)+1)2tan⁡3(u)−4(tan⁡2(u)+1)tan⁡(u)+4tan⁡(u))tan⁡n(u)n \left(\tan^{2}{\left(u \right)} + 1\right) \left(\frac{n^{2} \left(\tan^{2}{\left(u \right)} + 1\right)^{2}}{\tan^{3}{\left(u \right)}} - \frac{3 n \left(\tan^{2}{\left(u \right)} + 1\right)^{2}}{\tan^{3}{\left(u \right)}} + \frac{6 n \left(\tan^{2}{\left(u \right)} + 1\right)}{\tan{\left(u \right)}} + \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(u \right)} + 1\right)^{2}}{\tan^{3}{\left(u \right)}} - \frac{4 \left(\tan^{2}{\left(u \right)} + 1\right)}{\tan{\left(u \right)}} + 4 \tan{\left(u \right)}\right) \tan^{n}{\left(u \right)}
Simplificar
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