Derivada de y=ln(1+x^3)tg2x(-x)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \log{\left(x^{3} + 1 \right)} \tan{\left(2 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = \log{\left(x^{3} + 1 \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = x^{3} + 1$.

      2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x^{3} + 1\right)$:

         1. diferenciamos $x^{3} + 1$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            2. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

            Como resultado de: $3 x^{2}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1}$

      $g{\left(x \right)} = \tan{\left(2 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

         $\tan{\left(2 x \right)} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}$

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 2 x$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $2$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $2 \cos{\left(2 x \right)}$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 2 x$.

         2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $2$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- 2 \sin{\left(2 x \right)}$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}$

      Como resultado de: $\frac{3 x^{2} \tan{\left(2 x \right)}}{x^{3} + 1} + \frac{\left(2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right) \log{\left(x^{3} + 1 \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}$

   $g{\left(x \right)} = - x$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Entonces, como resultado: $-1$

   Como resultado de: $- x \left(\frac{3 x^{2} \tan{\left(2 x \right)}}{x^{3} + 1} + \frac{\left(2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right) \log{\left(x^{3} + 1 \right)}}{\cos^{2}{\left(2 x \right)}}\right) - \log{\left(x^{3} + 1 \right)} \tan{\left(2 x \right)}$

2. Simplificamos:

   $- \frac{x \left(3 x^{2} \sin{\left(4 x \right)} + 4 \left(x^{3} + 1\right) \log{\left(x^{3} + 1 \right)}\right) + \left(x^{3} + 1\right) \log{\left(x^{3} + 1 \right)} \sin{\left(4 x \right)}}{2 \left(x^{3} + 1\right) \cos^{2}{\left(2 x \right)}}$

Respuesta:

$- \frac{x \left(3 x^{2} \sin{\left(4 x \right)} + 4 \left(x^{3} + 1\right) \log{\left(x^{3} + 1 \right)}\right) + \left(x^{3} + 1\right) \log{\left(x^{3} + 1 \right)} \sin{\left(4 x \right)}}{2 \left(x^{3} + 1\right) \cos^{2}{\left(2 x \right)}}$