Derivada de (1-(2*sin(x)*sin(x)))/sin(x)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 1 - 2 \sin^{2}{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $1 - 2 \sin^{2}{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Sustituimos $u = \sin{\left(x \right)}$.

         2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

            1. La derivada del seno es igual al coseno:

               $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

         Entonces, como resultado: $- 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

      Como resultado de: $- 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- \left(1 - 2 \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} - 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

2. Simplificamos:

   $- \left(2 + \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}$

Respuesta:

$- \left(2 + \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}$