Derivada de x*sqrt(a*a+b*b*x*x/4)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x \sqrt{4 a^{2} + b^{2} x^{2}}$ y $g{\left(x \right)} = 2$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = \sqrt{4 a^{2} + b^{2} x^{2}}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 4 a^{2} + b^{2} x^{2}$.

      2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{\partial}{\partial x} \left(4 a^{2} + b^{2} x^{2}\right)$:

         1. diferenciamos $4 a^{2} + b^{2} x^{2}$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $4 a^{2}$ es igual a cero.

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

               Entonces, como resultado: $2 b^{2} x$

            Como resultado de: $2 b^{2} x$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{b^{2} x}{\sqrt{4 a^{2} + b^{2} x^{2}}}$

      Como resultado de: $\frac{b^{2} x^{2}}{\sqrt{4 a^{2} + b^{2} x^{2}}} + \sqrt{4 a^{2} + b^{2} x^{2}}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. La derivada de una constante $2$ es igual a cero.

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{b^{2} x^{2}}{2 \sqrt{4 a^{2} + b^{2} x^{2}}} + \frac{\sqrt{4 a^{2} + b^{2} x^{2}}}{2}$

2. Simplificamos:

   $\frac{2 a^{2} + b^{2} x^{2}}{\sqrt{4 a^{2} + b^{2} x^{2}}}$

Respuesta:

$\frac{2 a^{2} + b^{2} x^{2}}{\sqrt{4 a^{2} + b^{2} x^{2}}}$