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Derivada de la función/ x*x/4/ x*sqrt/ x*sqrt(a*a+b*b*x*x/4)

Derivada de x*sqrt(a*a+b*b*x*x/4)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
      _______________
     /       b*b*x*x 
x*  /  a*a + ------- 
  \/            4
xaa+xxbb4x \sqrt{a a + \frac{x x b b}{4}} 
x*sqrt(a*a + (((b*b)*x)*x)/4)
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

    f(x)=x4a2+b2x2f{\left(x \right)} = x \sqrt{4 a^{2} + b^{2} x^{2}} y g(x)=2g{\left(x \right)} = 2.

    Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

      f(x)=xf{\left(x \right)} = x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

      g(x)=4a2+b2x2g{\left(x \right)} = \sqrt{4 a^{2} + b^{2} x^{2}}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=4a2+b2x2u = 4 a^{2} + b^{2} x^{2}.

      2. Según el principio, aplicamos: u\sqrt{u} tenemos 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ∂∂x(4a2+b2x2)\frac{\partial}{\partial x} \left(4 a^{2} + b^{2} x^{2}\right):

        1. diferenciamos 4a2+b2x24 a^{2} + b^{2} x^{2} miembro por miembro:

          1. La derivada de una constante 4a24 a^{2} es igual a cero.

          2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

            Entonces, como resultado: 2b2x2 b^{2} x

          Como resultado de: 2b2x2 b^{2} x

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        b2x4a2+b2x2\frac{b^{2} x}{\sqrt{4 a^{2} + b^{2} x^{2}}}

      Como resultado de: b2x24a2+b2x2+4a2+b2x2\frac{b^{2} x^{2}}{\sqrt{4 a^{2} + b^{2} x^{2}}} + \sqrt{4 a^{2} + b^{2} x^{2}}

    Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. La derivada de una constante 22 es igual a cero.

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    b2x224a2+b2x2+4a2+b2x22\frac{b^{2} x^{2}}{2 \sqrt{4 a^{2} + b^{2} x^{2}}} + \frac{\sqrt{4 a^{2} + b^{2} x^{2}}}{2}

  2. Simplificamos:

    2a2+b2x24a2+b2x2\frac{2 a^{2} + b^{2} x^{2}}{\sqrt{4 a^{2} + b^{2} x^{2}}}

Respuesta:

2a2+b2x24a2+b2x2\frac{2 a^{2} + b^{2} x^{2}}{\sqrt{4 a^{2} + b^{2} x^{2}}}

Primera derivada [src] 
    _______________            2  2        
   /       b*b*x*x            b *x         
  /  a*a + -------  + ---------------------
\/            4             _______________
                           /       b*b*x*x 
                      4*  /  a*a + ------- 
                        \/            4
b2x24aa+xxbb4+aa+xxbb4\frac{b^{2} x^{2}}{4 \sqrt{a a + \frac{x x b b}{4}}} + \sqrt{a a + \frac{x x b b}{4}}
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Segunda derivada [src] 
     /        2  2    \
   2 |       b *x     |
x*b *|3 - ------------|
     |       2    2  2|
     \    4*a  + b *x /
-----------------------
         ____________  
        /       2  2   
       /   2   b *x    
  4*  /   a  + -----   
    \/           4
b2x(−b2x24a2+b2x2+3)4a2+b2x24\frac{b^{2} x \left(- \frac{b^{2} x^{2}}{4 a^{2} + b^{2} x^{2}} + 3\right)}{4 \sqrt{a^{2} + \frac{b^{2} x^{2}}{4}}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
     /         2  2    \ /        2  2   \
   2 |        b *x     | |       b *x    |
3*b *|-1 + ------------|*|-4 + ----------|
     |        2    2  2| |           2  2|
     \     4*a  + b *x / |      2   b *x |
                         |     a  + -----|
                         \            4  /
------------------------------------------
                   ____________           
                  /       2  2            
                 /   2   b *x             
           16*  /   a  + -----            
              \/           4
3b2(b2x2a2+b2x24−4)(b2x24a2+b2x2−1)16a2+b2x24\frac{3 b^{2} \left(\frac{b^{2} x^{2}}{a^{2} + \frac{b^{2} x^{2}}{4}} - 4\right) \left(\frac{b^{2} x^{2}}{4 a^{2} + b^{2} x^{2}} - 1\right)}{16 \sqrt{a^{2} + \frac{b^{2} x^{2}}{4}}}
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