Derivada de sqrt(x/(x+1))

Ha introducido [src]

    _______
   /   x   
  /  ----- 
\/   x + 1

$$\sqrt{\frac{x}{x + 1}}$$

sqrt(x/(x + 1))

Solución detallada

Sustituimos $u = \frac{x}{x + 1}$ .
Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$
Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{x + 1}$ :
1. Se aplica la regla de la derivada parcial:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = x$ y $g{\left(x \right)} = x + 1$ .
  
  Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
  Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. diferenciamos $x + 1$ miembro por miembro:
    1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.
    2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
    Como resultado de: $1$
  Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
  
  $\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$
Como resultado de la secuencia de reglas:

$\frac{1}{2 \sqrt{\frac{x}{x + 1}} \left(x + 1\right)^{2}}$
Simplificamos:

$\frac{1}{2 \sqrt{\frac{x}{x + 1}} \left(x + 1\right)^{2}}$

Respuesta:

$\frac{1}{2 \sqrt{\frac{x}{x + 1}} \left(x + 1\right)^{2}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

    _______                                 
   /   x            /    1           x     \
  /  ----- *(x + 1)*|--------- - ----------|
\/   x + 1          |2*(x + 1)            2|
                    \            2*(x + 1) /
--------------------------------------------
                     x

$$\frac{\sqrt{\frac{x}{x + 1}} \left(x + 1\right) \left(- \frac{x}{2 \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\right)}{x}$$

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Segunda derivada [src]

                         /                   x  \
    _______              |            -1 + -----|
   /   x    /       x  \ |2     2          1 + x|
  /  ----- *|-1 + -----|*|- + ----- + ----------|
\/   1 + x  \     1 + x/ \x   1 + x       x     /
-------------------------------------------------
                       4*x

$$\frac{\sqrt{\frac{x}{x + 1}} \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) \left(\frac{2}{x + 1} + \frac{\frac{x}{x + 1} - 1}{x} + \frac{2}{x}\right)}{4 x}$$

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Tercera derivada [src]

                         /                                                           2                 \
                         |                                /       x  \   /       x  \      /       x  \|
    _______              |                              3*|-1 + -----|   |-1 + -----|    3*|-1 + -----||
   /   x    /       x  \ |  1       1           1         \     1 + x/   \     1 + x/      \     1 + x/|
  /  ----- *|-1 + -----|*|- -- - -------- - --------- - -------------- - ------------- - --------------|
\/   1 + x  \     1 + x/ |   2          2   x*(1 + x)           2                2        4*x*(1 + x)  |
                         \  x    (1 + x)                     4*x              8*x                      /
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                   x

$$\frac{\sqrt{\frac{x}{x + 1}} \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right) \left(- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{3 \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right)}{4 x \left(x + 1\right)} - \frac{1}{x \left(x + 1\right)} - \frac{\left(\frac{x}{x + 1} - 1\right)^{2}}{8 x^{2}} - \frac{3 \left(\frac{x}{x + 1} - 1\right)}{4 x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}\right)}{x}$$

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Gráfico

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Definida a trozos:

Solución