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Derivada de la función/ cos^2/ cos^4x/ y=ln(cos^2x+√1+cos^4x)

Derivada de y=ln(cos^2x+√1+cos^4x)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
   /   2             16   \
log\cos (x) + t + cos  (x)/
log⁡((t+cos⁡2(x))+cos⁡16(x))\log{\left(\left(t + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) + \cos^{16}{\left(x \right)} \right)} 
log(cos(x)^2 + t + cos(x)^16)
Solución detallada

  1. Sustituimos u=(t+cos⁡2(x))+cos⁡16(x)u = \left(t + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) + \cos^{16}{\left(x \right)}.

  2. Derivado log⁡(u)\log{\left(u \right)} es 1u\frac{1}{u}.

  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ∂∂x((t+cos⁡2(x))+cos⁡16(x))\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(t + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) + \cos^{16}{\left(x \right)}\right):

    1. diferenciamos (t+cos⁡2(x))+cos⁡16(x)\left(t + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) + \cos^{16}{\left(x \right)} miembro por miembro:

      1. diferenciamos t+cos⁡2(x)t + \cos^{2}{\left(x \right)} miembro por miembro:

        1. Sustituimos u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        2. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxcos⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}:

          1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          −2sin⁡(x)cos⁡(x)- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

        4. La derivada de una constante tt es igual a cero.

        Como resultado de: −2sin⁡(x)cos⁡(x)- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

      2. Sustituimos u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

      3. Según el principio, aplicamos: u16u^{16} tenemos 16u1516 u^{15}

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxcos⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}:

        1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

          ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        −16sin⁡(x)cos⁡15(x)- 16 \sin{\left(x \right)} \cos^{15}{\left(x \right)}

      Como resultado de: −16sin⁡(x)cos⁡15(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)- 16 \sin{\left(x \right)} \cos^{15}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

    Como resultado de la secuencia de reglas:

    −16sin⁡(x)cos⁡15(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)(t+cos⁡2(x))+cos⁡16(x)\frac{- 16 \sin{\left(x \right)} \cos^{15}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\left(t + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) + \cos^{16}{\left(x \right)}}

  4. Simplificamos:

    −16((cos⁡(2x)+1)7+16)sin⁡(2x)256t+(cos⁡(2x)+1)8+128cos⁡(2x)+128- \frac{16 \left(\left(\cos{\left(2 x \right)} + 1\right)^{7} + 16\right) \sin{\left(2 x \right)}}{256 t + \left(\cos{\left(2 x \right)} + 1\right)^{8} + 128 \cos{\left(2 x \right)} + 128}

Respuesta:

−16((cos⁡(2x)+1)7+16)sin⁡(2x)256t+(cos⁡(2x)+1)8+128cos⁡(2x)+128- \frac{16 \left(\left(\cos{\left(2 x \right)} + 1\right)^{7} + 16\right) \sin{\left(2 x \right)}}{256 t + \left(\cos{\left(2 x \right)} + 1\right)^{8} + 128 \cos{\left(2 x \right)} + 128}

Primera derivada [src] 
        15                            
- 16*cos  (x)*sin(x) - 2*cos(x)*sin(x)
--------------------------------------
           2             16           
        cos (x) + t + cos  (x)
−16sin⁡(x)cos⁡15(x)−2sin⁡(x)cos⁡(x)(t+cos⁡2(x))+cos⁡16(x)\frac{- 16 \sin{\left(x \right)} \cos^{15}{\left(x \right)} - 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\left(t + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) + \cos^{16}{\left(x \right)}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
  /                                                                          2                \
  |                                                          /         14   \     2       2   |
  |   2         2           16             14       2      2*\1 + 8*cos  (x)/ *cos (x)*sin (x)|
2*|sin (x) - cos (x) - 8*cos  (x) + 120*cos  (x)*sin (x) - -----------------------------------|
  |                                                                      2         16         |
  \                                                               t + cos (x) + cos  (x)      /
-----------------------------------------------------------------------------------------------
                                            2         16                                       
                                     t + cos (x) + cos  (x)
2(−2(8cos⁡14(x)+1)2sin⁡2(x)cos⁡2(x)t+cos⁡16(x)+cos⁡2(x)+120sin⁡2(x)cos⁡14(x)+sin⁡2(x)−8cos⁡16(x)−cos⁡2(x))t+cos⁡16(x)+cos⁡2(x)\frac{2 \left(- \frac{2 \left(8 \cos^{14}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{t + \cos^{16}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}} + 120 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{14}{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)} - 8 \cos^{16}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{t + \cos^{16}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
  /                                                                                                                                         3                \              
  |                                            /         14   \ /   2         2           16             14       2   \     /         14   \     2       2   |              
  |           14             12       2      3*\1 + 8*cos  (x)/*\sin (x) - cos (x) - 8*cos  (x) + 120*cos  (x)*sin (x)/   4*\1 + 8*cos  (x)/ *cos (x)*sin (x)|              
4*|2 + 184*cos  (x) - 840*cos  (x)*sin (x) + -------------------------------------------------------------------------- - -----------------------------------|*cos(x)*sin(x)
  |                                                                           2         16                                                             2     |              
  |                                                                    t + cos (x) + cos  (x)                                  /       2         16   \      |              
  \                                                                                                                            \t + cos (x) + cos  (x)/      /              
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                  2         16                                                                              
                                                                           t + cos (x) + cos  (x)
4(−4(8cos⁡14(x)+1)3sin⁡2(x)cos⁡2(x)(t+cos⁡16(x)+cos⁡2(x))2+3(8cos⁡14(x)+1)(120sin⁡2(x)cos⁡14(x)+sin⁡2(x)−8cos⁡16(x)−cos⁡2(x))t+cos⁡16(x)+cos⁡2(x)−840sin⁡2(x)cos⁡12(x)+184cos⁡14(x)+2)sin⁡(x)cos⁡(x)t+cos⁡16(x)+cos⁡2(x)\frac{4 \left(- \frac{4 \left(8 \cos^{14}{\left(x \right)} + 1\right)^{3} \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(t + \cos^{16}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2}} + \frac{3 \left(8 \cos^{14}{\left(x \right)} + 1\right) \left(120 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{14}{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)} - 8 \cos^{16}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{t + \cos^{16}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}} - 840 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{12}{\left(x \right)} + 184 \cos^{14}{\left(x \right)} + 2\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{t + \cos^{16}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}
Simplificar
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