Derivada de x*sin(pi/x)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   $g{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \frac{\pi}{x}$.

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{\pi}{x}$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{x}$ tenemos $- \frac{1}{x^{2}}$

         Entonces, como resultado: $- \frac{\pi}{x^{2}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x^{2}}$

   Como resultado de: $\sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} - \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}$

Respuesta:

$\sin{\left(\frac{\pi}{x} \right)} - \frac{\pi \cos{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}{x}$