Derivada de e^(cos^2x)

1. Sustituimos $u = \cos^{2}{\left(x \right)}$.

2. Derivado $e^{u}$ es.

3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cos^{2}{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \cos{\left(x \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   Como resultado de la secuencia de reglas:

   $- 2 e^{\cos^{2}{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

4. Simplificamos:

   $- e^{\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}} \sin{\left(2 x \right)}$

Respuesta:

$- e^{\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}} \sin{\left(2 x \right)}$