Sr Examen

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y=sqrt(x^3+x)/sqrt(x-1)^2
Derivada de la función/ (x-1)/ x^3+x/ y=sqrt(x^3+x)/sqrt(x-1)/ y=sqrt(x^3+x)/sqrt(x-1)^2

Derivada de y=sqrt(x^3+x)/sqrt(x-1)^2

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
   ________
  /  3     
\/  x  + x 
-----------
          2
   _______ 
 \/ x - 1
x3+x(x−1)2\frac{\sqrt{x^{3} + x}}{\left(\sqrt{x - 1}\right)^{2}} 
sqrt(x^3 + x)/(sqrt(x - 1))^2
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

    f(x)=x3+xf{\left(x \right)} = \sqrt{x^{3} + x} y g(x)=x−1g{\left(x \right)} = x - 1.

    Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=x3+xu = x^{3} + x.

    2. Según el principio, aplicamos: u\sqrt{u} tenemos 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(x3+x)\frac{d}{d x} \left(x^{3} + x\right):

      1. diferenciamos x3+xx^{3} + x miembro por miembro:

        1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

        2. Según el principio, aplicamos: x3x^{3} tenemos 3x23 x^{2}

        Como resultado de: 3x2+13 x^{2} + 1

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      3x2+12x3+x\frac{3 x^{2} + 1}{2 \sqrt{x^{3} + x}}

    Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. diferenciamos x−1x - 1 miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante −1-1 es igual a cero.

      2. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

      Como resultado de: 11

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    (x−1)(3x2+1)2x3+x−x3+x(x−1)2\frac{\frac{\left(x - 1\right) \left(3 x^{2} + 1\right)}{2 \sqrt{x^{3} + x}} - \sqrt{x^{3} + x}}{\left(x - 1\right)^{2}}

  2. Simplificamos:

    −x3−x+(x−1)(3x2+1)2x(x−1)2x2+1\frac{- x^{3} - x + \frac{\left(x - 1\right) \left(3 x^{2} + 1\right)}{2}}{\sqrt{x} \left(x - 1\right)^{2} \sqrt{x^{2} + 1}}

Respuesta:

−x3−x+(x−1)(3x2+1)2x(x−1)2x2+1\frac{- x^{3} - x + \frac{\left(x - 1\right) \left(3 x^{2} + 1\right)}{2}}{\sqrt{x} \left(x - 1\right)^{2} \sqrt{x^{2} + 1}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-200200
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
                             2     
     ________         1   3*x      
    /  3              - + ----     
  \/  x  + x          2    2       
- ----------- + -------------------
           2               ________
    (x - 1)               /  3     
                (x - 1)*\/  x  + x
3x22+12(x−1)x3+x−x3+x(x−1)2\frac{\frac{3 x^{2}}{2} + \frac{1}{2}}{\left(x - 1\right) \sqrt{x^{3} + x}} - \frac{\sqrt{x^{3} + x}}{\left(x - 1\right)^{2}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
                      2                                                    
            /       2\                                                     
     ___    \1 + 3*x /                                                     
12*\/ x  - -------------              ________                             
            3/2 /     2\       ___   /      2                    2         
           x   *\1 + x /   2*\/ x *\/  1 + x              1 + 3*x          
------------------------ + ------------------- - --------------------------
          ________                      2                 ________         
         /      2               (-1 + x)           ___   /      2          
     4*\/  1 + x                                 \/ x *\/  1 + x  *(-1 + x)
---------------------------------------------------------------------------
                                   -1 + x
2xx2+1(x−1)2+12x−(3x2+1)2x32(x2+1)4x2+1−3x2+1x(x−1)x2+1x−1\frac{\frac{2 \sqrt{x} \sqrt{x^{2} + 1}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{12 \sqrt{x} - \frac{\left(3 x^{2} + 1\right)^{2}}{x^{\frac{3}{2}} \left(x^{2} + 1\right)}}{4 \sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{3 x^{2} + 1}{\sqrt{x} \left(x - 1\right) \sqrt{x^{2} + 1}}}{x - 1}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
  /                                                                                 3                               \
  |                                              2           /       2\   /       2\                                |
  |                                    /       2\         12*\1 + 3*x /   \1 + 3*x /                                |
  |                             ___    \1 + 3*x /     8 - ------------- + ------------                              |
  |             ________   12*\/ x  - -------------                2                 2                              |
  |      ___   /      2                3/2 /     2\           1 + x        2 /     2\                     2         |
  |  2*\/ x *\/  1 + x                x   *\1 + x /                       x *\1 + x /              1 + 3*x          |
3*|- ------------------- - ------------------------ + -------------------------------- + ---------------------------|
  |               3              ________                              ________                   ________          |
  |       (-1 + x)              /      2                        ___   /      2             ___   /      2          2|
  \                         4*\/  1 + x  *(-1 + x)          8*\/ x *\/  1 + x            \/ x *\/  1 + x  *(-1 + x) /
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                        -1 + x
3(−2xx2+1(x−1)3−12x−(3x2+1)2x32(x2+1)4(x−1)x2+1+8−12(3x2+1)x2+1+(3x2+1)3x2(x2+1)28xx2+1+3x2+1x(x−1)2x2+1)x−1\frac{3 \left(- \frac{2 \sqrt{x} \sqrt{x^{2} + 1}}{\left(x - 1\right)^{3}} - \frac{12 \sqrt{x} - \frac{\left(3 x^{2} + 1\right)^{2}}{x^{\frac{3}{2}} \left(x^{2} + 1\right)}}{4 \left(x - 1\right) \sqrt{x^{2} + 1}} + \frac{8 - \frac{12 \left(3 x^{2} + 1\right)}{x^{2} + 1} + \frac{\left(3 x^{2} + 1\right)^{3}}{x^{2} \left(x^{2} + 1\right)^{2}}}{8 \sqrt{x} \sqrt{x^{2} + 1}} + \frac{3 x^{2} + 1}{\sqrt{x} \left(x - 1\right)^{2} \sqrt{x^{2} + 1}}\right)}{x - 1}
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=sqrt(x^3+x)/sqrt(x-1)^2
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