Derivada de y=(x^2+3x)^2*sin(3x+5)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \left(x^{2} + 3 x\right)^{2}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x^{2} + 3 x$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 3 x\right)$:

      1. diferenciamos $x^{2} + 3 x$ miembro por miembro:

         1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $3$

         Como resultado de: $2 x + 3$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\left(2 x + 3\right) \left(2 x^{2} + 6 x\right)$

   $g{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x + 5 \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 3 x + 5$.

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(3 x + 5\right)$:

      1. diferenciamos $3 x + 5$ miembro por miembro:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $3$

         2. La derivada de una constante $5$ es igual a cero.

         Como resultado de: $3$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $3 \cos{\left(3 x + 5 \right)}$

   Como resultado de: $\left(2 x + 3\right) \left(2 x^{2} + 6 x\right) \sin{\left(3 x + 5 \right)} + 3 \left(x^{2} + 3 x\right)^{2} \cos{\left(3 x + 5 \right)}$

2. Simplificamos:

   $x \left(x + 3\right) \left(3 x \left(x + 3\right) \cos{\left(3 x + 5 \right)} + \left(4 x + 6\right) \sin{\left(3 x + 5 \right)}\right)$

Respuesta:

$x \left(x + 3\right) \left(3 x \left(x + 3\right) \cos{\left(3 x + 5 \right)} + \left(4 x + 6\right) \sin{\left(3 x + 5 \right)}\right)$