Derivada de x(e^(-x))+sin(2x)+cos(2x)

1. diferenciamos $\left(e^{- x} x + \sin{\left(2 x \right)}\right) + \cos{\left(2 x \right)}$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $e^{- x} x + \sin{\left(2 x \right)}$ miembro por miembro:

      1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = x$ y $g{\left(x \right)} = e^{x}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Derivado $e^{x}$ es.

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\left(- x e^{x} + e^{x}\right) e^{- 2 x}$

      2. Sustituimos $u = 2 x$.

      3. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $2$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $2 \cos{\left(2 x \right)}$

      Como resultado de: $\left(- x e^{x} + e^{x}\right) e^{- 2 x} + 2 \cos{\left(2 x \right)}$

   2. Sustituimos $u = 2 x$.

   3. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

   4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $2$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- 2 \sin{\left(2 x \right)}$

   Como resultado de: $\left(- x e^{x} + e^{x}\right) e^{- 2 x} - 2 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}$

2. Simplificamos:

   $\left(- x + 2 \sqrt{2} e^{x} \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} + 1\right) e^{- x}$

Respuesta:

$\left(- x + 2 \sqrt{2} e^{x} \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} + 1\right) e^{- x}$