Derivada de xtan^(2)(4x^(2))

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   $g{\left(x \right)} = \tan^{2}{\left(4 x^{2} \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \tan{\left(4 x^{2} \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(4 x^{2} \right)}$:

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

         $\tan{\left(4 x^{2} \right)} = \frac{\sin{\left(4 x^{2} \right)}}{\cos{\left(4 x^{2} \right)}}$

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x^{2} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x^{2} \right)}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 4 x^{2}$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 4 x^{2}$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

               Entonces, como resultado: $8 x$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $8 x \cos{\left(4 x^{2} \right)}$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 4 x^{2}$.

         2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 4 x^{2}$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

               Entonces, como resultado: $8 x$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- 8 x \sin{\left(4 x^{2} \right)}$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{8 x \sin^{2}{\left(4 x^{2} \right)} + 8 x \cos^{2}{\left(4 x^{2} \right)}}{\cos^{2}{\left(4 x^{2} \right)}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{2 \left(8 x \sin^{2}{\left(4 x^{2} \right)} + 8 x \cos^{2}{\left(4 x^{2} \right)}\right) \tan{\left(4 x^{2} \right)}}{\cos^{2}{\left(4 x^{2} \right)}}$

   Como resultado de: $\frac{2 x \left(8 x \sin^{2}{\left(4 x^{2} \right)} + 8 x \cos^{2}{\left(4 x^{2} \right)}\right) \tan{\left(4 x^{2} \right)}}{\cos^{2}{\left(4 x^{2} \right)}} + \tan^{2}{\left(4 x^{2} \right)}$

2. Simplificamos:

   $\frac{16 x^{2} \tan{\left(4 x^{2} \right)}}{\cos^{2}{\left(4 x^{2} \right)}} + \tan^{2}{\left(4 x^{2} \right)}$

Respuesta:

$\frac{16 x^{2} \tan{\left(4 x^{2} \right)}}{\cos^{2}{\left(4 x^{2} \right)}} + \tan^{2}{\left(4 x^{2} \right)}$