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Derivada de la función/ y=lnx/ lnx/x/ y=lnx/x^n

Derivada de y=lnx/x^n

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
log(x)
------
   n  
  x
log⁡(x)xn\frac{\log{\left(x \right)}}{x^{n}} 
log(x)/x^n
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

    f(x)=log⁡(x)f{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y g(x)=xng{\left(x \right)} = x^{n}.

    Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Derivado log⁡(x)\log{\left(x \right)} es 1x\frac{1}{x}.

    Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Según el principio, aplicamos: xnx^{n} tenemos nxnx\frac{n x^{n}}{x}

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    x−2n(−nxnlog⁡(x)x+xnx)x^{- 2 n} \left(- \frac{n x^{n} \log{\left(x \right)}}{x} + \frac{x^{n}}{x}\right)

  2. Simplificamos:

    x−n−1(−nlog⁡(x)+1)x^{- n - 1} \left(- n \log{\left(x \right)} + 1\right)

Respuesta:

x−n−1(−nlog⁡(x)+1)x^{- n - 1} \left(- n \log{\left(x \right)} + 1\right)

Primera derivada [src] 
 -n      -n       
x     n*x  *log(x)
--- - ------------
 x         x
−nx−nlog⁡(x)x+x−nx- \frac{n x^{- n} \log{\left(x \right)}}{x} + \frac{x^{- n}}{x}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
 -n                              
x  *(-1 - 2*n + n*(1 + n)*log(x))
---------------------------------
                 2               
                x
x−n(n(n+1)log⁡(x)−2n−1)x2\frac{x^{- n} \left(n \left(n + 1\right) \log{\left(x \right)} - 2 n - 1\right)}{x^{2}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
 -n /                          /     2      \       \
x  *\2 + 3*n + 3*n*(1 + n) - n*\2 + n  + 3*n/*log(x)/
-----------------------------------------------------
                           3                         
                          x
x−n(3n(n+1)−n(n2+3n+2)log⁡(x)+3n+2)x3\frac{x^{- n} \left(3 n \left(n + 1\right) - n \left(n^{2} + 3 n + 2\right) \log{\left(x \right)} + 3 n + 2\right)}{x^{3}}
Simplificar
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