Derivada de (2*cbrt(x)+1)^2/sqrt(x)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \left(2 \sqrt[3]{x} + 1\right)^{2}$ y $g{\left(x \right)} = \sqrt{x}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 2 \sqrt[3]{x} + 1$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(2 \sqrt[3]{x} + 1\right)$:

      1. diferenciamos $2 \sqrt[3]{x} + 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt[3]{x}$ tenemos $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

            Entonces, como resultado: $\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

         Como resultado de: $\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{2 \left(4 \sqrt[3]{x} + 2\right)}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- \frac{\left(2 \sqrt[3]{x} + 1\right)^{2}}{2 \sqrt{x}} + \frac{2 \left(4 \sqrt[3]{x} + 2\right)}{3 \sqrt[6]{x}}}{x}$

2. Simplificamos:

   $- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{6}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{7}{6}}}$

Respuesta:

$- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{6}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{7}{6}}}$