Sr Examen

Otras calculadoras

Derivada de xln(x/p)+(1-x)ln((1-x)/(1-p))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
     /x\              /1 - x\
x*log|-| + (1 - x)*log|-----|
     \p/              \1 - p/
xlog(xp)+(1x)log(1x1p)x \log{\left(\frac{x}{p} \right)} + \left(1 - x\right) \log{\left(\frac{1 - x}{1 - p} \right)}
x*log(x/p) + (1 - x)*log((1 - x)/(1 - p))
Solución detallada
  1. diferenciamos xlog(xp)+(1x)log(1x1p)x \log{\left(\frac{x}{p} \right)} + \left(1 - x\right) \log{\left(\frac{1 - x}{1 - p} \right)} miembro por miembro:

    1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

      f(x)=xf{\left(x \right)} = x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

      g(x)=log(xp)g{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{x}{p} \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=xpu = \frac{x}{p}.

      2. Derivado log(u)\log{\left(u \right)} es 1u\frac{1}{u}.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por xxp\frac{\partial}{\partial x} \frac{x}{p}:

        1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          Entonces, como resultado: 1p\frac{1}{p}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        1x\frac{1}{x}

      Como resultado de: log(xp)+1\log{\left(\frac{x}{p} \right)} + 1

    2. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

      f(x)=1xf{\left(x \right)} = 1 - x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. diferenciamos 1x1 - x miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

        2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          Entonces, como resultado: 1-1

        Como resultado de: 1-1

      g(x)=log(1x1p)g{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{1 - x}{1 - p} \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=1x1pu = \frac{1 - x}{1 - p}.

      2. Derivado log(u)\log{\left(u \right)} es 1u\frac{1}{u}.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por x1x1p\frac{\partial}{\partial x} \frac{1 - x}{1 - p}:

        1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. diferenciamos 1x1 - x miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

              Entonces, como resultado: 1-1

            Como resultado de: 1-1

          Entonces, como resultado: 11p- \frac{1}{1 - p}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        11x- \frac{1}{1 - x}

      Como resultado de: log(1x1p)1- \log{\left(\frac{1 - x}{1 - p} \right)} - 1

    Como resultado de: log(xp)log(1x1p)\log{\left(\frac{x}{p} \right)} - \log{\left(\frac{1 - x}{1 - p} \right)}

  2. Simplificamos:

    log(xp)log(x1p1)\log{\left(\frac{x}{p} \right)} - \log{\left(\frac{x - 1}{p - 1} \right)}


Respuesta:

log(xp)log(x1p1)\log{\left(\frac{x}{p} \right)} - \log{\left(\frac{x - 1}{p - 1} \right)}

Primera derivada [src]
     /1 - x\      /x\
- log|-----| + log|-|
     \1 - p/      \p/
log(xp)log(1x1p)\log{\left(\frac{x}{p} \right)} - \log{\left(\frac{1 - x}{1 - p} \right)}
Segunda derivada [src]
1     1   
- - ------
x   -1 + x
1x1+1x- \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x}
Tercera derivada [src]
    1       1 
--------- - --
        2    2
(-1 + x)    x 
1(x1)21x2\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2}}