Derivada de xln(x/p)+(1-x)ln((1-x)/(1-p))

1. diferenciamos $x \log{\left(\frac{x}{p} \right)} + \left(1 - x\right) \log{\left(\frac{1 - x}{1 - p} \right)}$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{x}{p} \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \frac{x}{p}$.

      2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{\partial}{\partial x} \frac{x}{p}$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $\frac{1}{p}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{1}{x}$

      Como resultado de: $\log{\left(\frac{x}{p} \right)} + 1$

   2. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = 1 - x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $1 - x$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $-1$

         Como resultado de: $-1$

      $g{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{1 - x}{1 - p} \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \frac{1 - x}{1 - p}$.

      2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{\partial}{\partial x} \frac{1 - x}{1 - p}$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. diferenciamos $1 - x$ miembro por miembro:

               1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

               2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $-1$

               Como resultado de: $-1$

            Entonces, como resultado: $- \frac{1}{1 - p}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \frac{1}{1 - x}$

      Como resultado de: $- \log{\left(\frac{1 - x}{1 - p} \right)} - 1$

   Como resultado de: $\log{\left(\frac{x}{p} \right)} - \log{\left(\frac{1 - x}{1 - p} \right)}$

2. Simplificamos:

   $\log{\left(\frac{x}{p} \right)} - \log{\left(\frac{x - 1}{p - 1} \right)}$

Respuesta:

$\log{\left(\frac{x}{p} \right)} - \log{\left(\frac{x - 1}{p - 1} \right)}$