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Derivada de xln(x+sqrt(x^2+a^2))-sqrtx^2+a^2

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
     /       _________\        2     
     |      /  2    2 |     ___     2
x*log\x + \/  x  + a  / - \/ x   + a 
a2+((x)2+xlog(x+a2+x2))a^{2} + \left(- \left(\sqrt{x}\right)^{2} + x \log{\left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}} \right)}\right)
x*log(x + sqrt(x^2 + a^2)) - (sqrt(x))^2 + a^2
Solución detallada
  1. diferenciamos a2+((x)2+xlog(x+a2+x2))a^{2} + \left(- \left(\sqrt{x}\right)^{2} + x \log{\left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}} \right)}\right) miembro por miembro:

    1. diferenciamos (x)2+xlog(x+a2+x2)- \left(\sqrt{x}\right)^{2} + x \log{\left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}} \right)} miembro por miembro:

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

        ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

        f(x)=xf{\left(x \right)} = x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

        g(x)=log(x+a2+x2)g{\left(x \right)} = \log{\left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}} \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. Sustituimos u=x+a2+x2u = x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}.

        2. Derivado log(u)\log{\left(u \right)} es 1u\frac{1}{u}.

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por x(x+a2+x2)\frac{\partial}{\partial x} \left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}\right):

          1. diferenciamos x+a2+x2x + \sqrt{a^{2} + x^{2}} miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

            2. Sustituimos u=a2+x2u = a^{2} + x^{2}.

            3. Según el principio, aplicamos: u\sqrt{u} tenemos 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

            4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por x(a2+x2)\frac{\partial}{\partial x} \left(a^{2} + x^{2}\right):

              1. diferenciamos a2+x2a^{2} + x^{2} miembro por miembro:

                1. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

                2. La derivada de una constante a2a^{2} es igual a cero.

                Como resultado de: 2x2 x

              Como resultado de la secuencia de reglas:

              xa2+x2\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}

            Como resultado de: xa2+x2+1\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + 1

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          xa2+x2+1x+a2+x2\frac{\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + 1}{x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}}

        Como resultado de: x(xa2+x2+1)x+a2+x2+log(x+a2+x2)\frac{x \left(\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + 1\right)}{x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}} + \log{\left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}} \right)}

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

        1. Sustituimos u=xu = \sqrt{x}.

        2. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx\frac{d}{d x} \sqrt{x}:

          1. Según el principio, aplicamos: x\sqrt{x} tenemos 12x\frac{1}{2 \sqrt{x}}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          11

        Entonces, como resultado: 1-1

      Como resultado de: x(xa2+x2+1)x+a2+x2+log(x+a2+x2)1\frac{x \left(\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + 1\right)}{x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}} + \log{\left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}} \right)} - 1

    2. La derivada de una constante a2a^{2} es igual a cero.

    Como resultado de: x(xa2+x2+1)x+a2+x2+log(x+a2+x2)1\frac{x \left(\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + 1\right)}{x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}} + \log{\left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}} \right)} - 1

  2. Simplificamos:

    xa2+x2+log(x+a2+x2)1\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + \log{\left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}} \right)} - 1


Respuesta:

xa2+x2+log(x+a2+x2)1\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + \log{\left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}} \right)} - 1

Primera derivada [src]
       /         x      \                        
     x*|1 + ------------|                        
       |       _________|                        
       |      /  2    2 |      /       _________\
       \    \/  x  + a  /      |      /  2    2 |
-1 + -------------------- + log\x + \/  x  + a  /
              _________                          
             /  2    2                           
       x + \/  x  + a                            
x(xa2+x2+1)x+a2+x2+log(x+a2+x2)1\frac{x \left(\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + 1\right)}{x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}} + \log{\left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}} \right)} - 1
Segunda derivada [src]
                                       2                   
                     /         x      \      /         2  \
                   x*|1 + ------------|      |        x   |
                     |       _________|    x*|-1 + -------|
                     |      /  2    2 |      |      2    2|
        2*x          \    \/  a  + x  /      \     a  + x /
2 + ------------ - --------------------- - ----------------
       _________             _________          _________  
      /  2    2             /  2    2          /  2    2   
    \/  a  + x        x + \/  a  + x         \/  a  + x    
-----------------------------------------------------------
                             _________                     
                            /  2    2                      
                      x + \/  a  + x                       
x(xa2+x2+1)2x+a2+x2x(x2a2+x21)a2+x2+2xa2+x2+2x+a2+x2\frac{- \frac{x \left(\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + 1\right)^{2}}{x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}} - \frac{x \left(\frac{x^{2}}{a^{2} + x^{2}} - 1\right)}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + \frac{2 x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + 2}{x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}}
Tercera derivada [src]
                      2                                            3                                                /         2  \
    /         x      \      /         2  \       /         x      \         /         2  \       /         x      \ |        x   |
  3*|1 + ------------|      |        x   |   2*x*|1 + ------------|       2 |        x   |   3*x*|1 + ------------|*|-1 + -------|
    |       _________|    3*|-1 + -------|       |       _________|    3*x *|-1 + -------|       |       _________| |      2    2|
    |      /  2    2 |      |      2    2|       |      /  2    2 |         |      2    2|       |      /  2    2 | \     a  + x /
    \    \/  a  + x  /      \     a  + x /       \    \/  a  + x  /         \     a  + x /       \    \/  a  + x  /               
- --------------------- - ---------------- + ----------------------- + ------------------- + -------------------------------------
            _________          _________                         2                  3/2         /       _________\    _________   
           /  2    2          /  2    2        /       _________\          / 2    2\            |      /  2    2 |   /  2    2    
     x + \/  a  + x         \/  a  + x         |      /  2    2 |          \a  + x /            \x + \/  a  + x  /*\/  a  + x     
                                               \x + \/  a  + x  /                                                                 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                _________                                                         
                                                               /  2    2                                                          
                                                         x + \/  a  + x                                                           
3x2(x2a2+x21)(a2+x2)32+2x(xa2+x2+1)3(x+a2+x2)2+3x(xa2+x2+1)(x2a2+x21)a2+x2(x+a2+x2)3(xa2+x2+1)2x+a2+x23(x2a2+x21)a2+x2x+a2+x2\frac{\frac{3 x^{2} \left(\frac{x^{2}}{a^{2} + x^{2}} - 1\right)}{\left(a^{2} + x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 x \left(\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + 1\right)^{3}}{\left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}\right)^{2}} + \frac{3 x \left(\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + 1\right) \left(\frac{x^{2}}{a^{2} + x^{2}} - 1\right)}{\sqrt{a^{2} + x^{2}} \left(x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}\right)} - \frac{3 \left(\frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} + 1\right)^{2}}{x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}} - \frac{3 \left(\frac{x^{2}}{a^{2} + x^{2}} - 1\right)}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}}{x + \sqrt{a^{2} + x^{2}}}