Derivada de z*tan(z)^2

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} g{\left(z \right)} = f{\left(z \right)} \frac{d}{d z} g{\left(z \right)} + g{\left(z \right)} \frac{d}{d z} f{\left(z \right)}$

   $f{\left(z \right)} = z$; calculamos $\frac{d}{d z} f{\left(z \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $z$ tenemos $1$

   $g{\left(z \right)} = \tan^{2}{\left(z \right)}$; calculamos $\frac{d}{d z} g{\left(z \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \tan{\left(z \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d z} \tan{\left(z \right)}$:

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

         $\tan{\left(z \right)} = \frac{\sin{\left(z \right)}}{\cos{\left(z \right)}}$

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d z} \frac{f{\left(z \right)}}{g{\left(z \right)}} = \frac{- f{\left(z \right)} \frac{d}{d z} g{\left(z \right)} + g{\left(z \right)} \frac{d}{d z} f{\left(z \right)}}{g^{2}{\left(z \right)}}$

         $f{\left(z \right)} = \sin{\left(z \right)}$ y $g{\left(z \right)} = \cos{\left(z \right)}$.

         Para calcular $\frac{d}{d z} f{\left(z \right)}$:

         1. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d z} \sin{\left(z \right)} = \cos{\left(z \right)}$

         Para calcular $\frac{d}{d z} g{\left(z \right)}$:

         1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d z} \cos{\left(z \right)} = - \sin{\left(z \right)}$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{\sin^{2}{\left(z \right)} + \cos^{2}{\left(z \right)}}{\cos^{2}{\left(z \right)}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{2 \left(\sin^{2}{\left(z \right)} + \cos^{2}{\left(z \right)}\right) \tan{\left(z \right)}}{\cos^{2}{\left(z \right)}}$

   Como resultado de: $\frac{2 z \left(\sin^{2}{\left(z \right)} + \cos^{2}{\left(z \right)}\right) \tan{\left(z \right)}}{\cos^{2}{\left(z \right)}} + \tan^{2}{\left(z \right)}$

2. Simplificamos:

   $\frac{2 z \sin{\left(z \right)}}{\cos^{3}{\left(z \right)}} + \tan^{2}{\left(z \right)}$

Respuesta:

$\frac{2 z \sin{\left(z \right)}}{\cos^{3}{\left(z \right)}} + \tan^{2}{\left(z \right)}$