Derivada de y=8tg(x)-(4x+x^2)*sin(x)

1. diferenciamos $- \left(x^{2} + 4 x\right) \sin{\left(x \right)} + 8 \tan{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

         $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

      Entonces, como resultado: $\frac{8 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = x^{2} + 4 x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. diferenciamos $x^{2} + 4 x$ miembro por miembro:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $4$

            2. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

            Como resultado de: $2 x + 4$

         $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         Como resultado de: $\left(2 x + 4\right) \sin{\left(x \right)} + \left(x^{2} + 4 x\right) \cos{\left(x \right)}$

      Entonces, como resultado: $- \left(2 x + 4\right) \sin{\left(x \right)} - \left(x^{2} + 4 x\right) \cos{\left(x \right)}$

   Como resultado de: $- \left(2 x + 4\right) \sin{\left(x \right)} - \left(x^{2} + 4 x\right) \cos{\left(x \right)} + \frac{8 \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

2. Simplificamos:

   $- x^{2} \cos{\left(x \right)} - 2 x \sin{\left(x \right)} - 4 x \cos{\left(x \right)} - 4 \sin{\left(x \right)} + \frac{8}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Respuesta:

$- x^{2} \cos{\left(x \right)} - 2 x \sin{\left(x \right)} - 4 x \cos{\left(x \right)} - 4 \sin{\left(x \right)} + \frac{8}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$