Sr Examen

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y=((5x-3)sqrt(x^2+2))/(((7x+4)^3)*(3x+2))

Derivada de y=((5x-3)sqrt(x^2+2))/(((7x+4)^3)*(3x+2))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
             ________
            /  2     
(5*x - 3)*\/  x  + 2 
---------------------
          3          
 (7*x + 4) *(3*x + 2)
(5x3)x2+2(3x+2)(7x+4)3\frac{\left(5 x - 3\right) \sqrt{x^{2} + 2}}{\left(3 x + 2\right) \left(7 x + 4\right)^{3}}
((5*x - 3)*sqrt(x^2 + 2))/(((7*x + 4)^3*(3*x + 2)))
Solución detallada
  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

    f(x)=(5x3)x2+2f{\left(x \right)} = \left(5 x - 3\right) \sqrt{x^{2} + 2} y g(x)=(3x+2)(7x+4)3g{\left(x \right)} = \left(3 x + 2\right) \left(7 x + 4\right)^{3}.

    Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

      f(x)=x2+2f{\left(x \right)} = \sqrt{x^{2} + 2}; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=x2+2u = x^{2} + 2.

      2. Según el principio, aplicamos: u\sqrt{u} tenemos 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(x2+2)\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 2\right):

        1. diferenciamos x2+2x^{2} + 2 miembro por miembro:

          1. La derivada de una constante 22 es igual a cero.

          2. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

          Como resultado de: 2x2 x

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        xx2+2\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 2}}

      g(x)=5x3g{\left(x \right)} = 5 x - 3; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. diferenciamos 5x35 x - 3 miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante 3-3 es igual a cero.

        2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          Entonces, como resultado: 55

        Como resultado de: 55

      Como resultado de: x(5x3)x2+2+5x2+2\frac{x \left(5 x - 3\right)}{\sqrt{x^{2} + 2}} + 5 \sqrt{x^{2} + 2}

    Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

      f(x)=(7x+4)3f{\left(x \right)} = \left(7 x + 4\right)^{3}; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=7x+4u = 7 x + 4.

      2. Según el principio, aplicamos: u3u^{3} tenemos 3u23 u^{2}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(7x+4)\frac{d}{d x} \left(7 x + 4\right):

        1. diferenciamos 7x+47 x + 4 miembro por miembro:

          1. La derivada de una constante 44 es igual a cero.

          2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

            Entonces, como resultado: 77

          Como resultado de: 77

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        21(7x+4)221 \left(7 x + 4\right)^{2}

      g(x)=3x+2g{\left(x \right)} = 3 x + 2; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. diferenciamos 3x+23 x + 2 miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante 22 es igual a cero.

        2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          Entonces, como resultado: 33

        Como resultado de: 33

      Como resultado de: 21(3x+2)(7x+4)2+3(7x+4)321 \left(3 x + 2\right) \left(7 x + 4\right)^{2} + 3 \left(7 x + 4\right)^{3}

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    (3x+2)(7x+4)3(x(5x3)x2+2+5x2+2)(5x3)x2+2(21(3x+2)(7x+4)2+3(7x+4)3)(3x+2)2(7x+4)6\frac{\left(3 x + 2\right) \left(7 x + 4\right)^{3} \left(\frac{x \left(5 x - 3\right)}{\sqrt{x^{2} + 2}} + 5 \sqrt{x^{2} + 2}\right) - \left(5 x - 3\right) \sqrt{x^{2} + 2} \left(21 \left(3 x + 2\right) \left(7 x + 4\right)^{2} + 3 \left(7 x + 4\right)^{3}\right)}{\left(3 x + 2\right)^{2} \left(7 x + 4\right)^{6}}

  2. Simplificamos:

    210x4+179x3466x2+200x+404x2+2(21609x6+78204x5+117796x4+94528x3+42624x2+10240x+1024)\frac{- 210 x^{4} + 179 x^{3} - 466 x^{2} + 200 x + 404}{\sqrt{x^{2} + 2} \left(21609 x^{6} + 78204 x^{5} + 117796 x^{4} + 94528 x^{3} + 42624 x^{2} + 10240 x + 1024\right)}


Respuesta:

210x4+179x3466x2+200x+404x2+2(21609x6+78204x5+117796x4+94528x3+42624x2+10240x+1024)\frac{- 210 x^{4} + 179 x^{3} - 466 x^{2} + 200 x + 404}{\sqrt{x^{2} + 2} \left(21609 x^{6} + 78204 x^{5} + 117796 x^{4} + 94528 x^{3} + 42624 x^{2} + 10240 x + 1024\right)}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-1000010000
Primera derivada [src]
                                                        ________                                                     
                     /     ________              \     /  2      /             3               2          \          
         1           |    /  2        x*(5*x - 3)|   \/  x  + 2 *\- 3*(7*x + 4)  - 21*(7*x + 4) *(3*x + 2)/*(5*x - 3)
--------------------*|5*\/  x  + 2  + -----------| + ----------------------------------------------------------------
                   3 |                   ________|                                 2          6                      
(3*x + 2)*(7*x + 4)  |                  /  2     |                        (3*x + 2) *(7*x + 4)                       
                     \                \/  x  + 2 /                                                                   
1(3x+2)(7x+4)3(x(5x3)x2+2+5x2+2)+(5x3)x2+2(21(3x+2)(7x+4)23(7x+4)3)(3x+2)2(7x+4)6\frac{1}{\left(3 x + 2\right) \left(7 x + 4\right)^{3}} \left(\frac{x \left(5 x - 3\right)}{\sqrt{x^{2} + 2}} + 5 \sqrt{x^{2} + 2}\right) + \frac{\left(5 x - 3\right) \sqrt{x^{2} + 2} \left(- 21 \left(3 x + 2\right) \left(7 x + 4\right)^{2} - 3 \left(7 x + 4\right)^{3}\right)}{\left(3 x + 2\right)^{2} \left(7 x + 4\right)^{6}}
Segunda derivada [src]
                                                /     ________               \                                                                                                                
       /        2  \                            |    /      2    x*(-3 + 5*x)|                                                                                                                
       |       x   |              12*(9 + 14*x)*|5*\/  2 + x   + ------------|        ________                                                                                                
10*x - |-1 + ------|*(-3 + 5*x)                 |                   ________ |       /      2             /  14*(13 + 21*x)   3*(9 + 14*x)                /   1         7   \   21*(9 + 14*x)\
       |          2|                            |                  /      2  |   6*\/  2 + x  *(-3 + 5*x)*|- -------------- + ------------ + 3*(9 + 14*x)*|------- + -------| + -------------|
       \     2 + x /                            \                \/  2 + x   /                            \     4 + 7*x         2 + 3*x                   \2 + 3*x   4 + 7*x/      4 + 7*x   /
------------------------------- - -------------------------------------------- + -------------------------------------------------------------------------------------------------------------
             ________                         (2 + 3*x)*(4 + 7*x)                                                             (2 + 3*x)*(4 + 7*x)                                             
            /      2                                                                                                                                                                          
          \/  2 + x                                                                                                                                                                           
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                        3                                                                                     
                                                                                     (2 + 3*x)*(4 + 7*x)                                                                                      
10x(5x3)(x2x2+21)x2+2+6(5x3)x2+2(3(14x+9)(77x+4+13x+2)+21(14x+9)7x+414(21x+13)7x+4+3(14x+9)3x+2)(3x+2)(7x+4)12(14x+9)(x(5x3)x2+2+5x2+2)(3x+2)(7x+4)(3x+2)(7x+4)3\frac{\frac{10 x - \left(5 x - 3\right) \left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 2} - 1\right)}{\sqrt{x^{2} + 2}} + \frac{6 \left(5 x - 3\right) \sqrt{x^{2} + 2} \left(3 \left(14 x + 9\right) \left(\frac{7}{7 x + 4} + \frac{1}{3 x + 2}\right) + \frac{21 \left(14 x + 9\right)}{7 x + 4} - \frac{14 \left(21 x + 13\right)}{7 x + 4} + \frac{3 \left(14 x + 9\right)}{3 x + 2}\right)}{\left(3 x + 2\right) \left(7 x + 4\right)} - \frac{12 \left(14 x + 9\right) \left(\frac{x \left(5 x - 3\right)}{\sqrt{x^{2} + 2}} + 5 \sqrt{x^{2} + 2}\right)}{\left(3 x + 2\right) \left(7 x + 4\right)}}{\left(3 x + 2\right) \left(7 x + 4\right)^{3}}
Tercera derivada [src]
  /                                      /     ________               \                                                                                                                                                                  /                                                                                                                                                                           /   1         7   \                /   1         7   \                 /   1         7   \                      \\
  |/        2  \                         |    /      2    x*(-3 + 5*x)| /  14*(13 + 21*x)   3*(9 + 14*x)                /   1         7   \   21*(9 + 14*x)\                /       /        2  \           \        ________            |                                                                                                                                                            42*(13 + 21*x)*|------- + -------|   9*(9 + 14*x)*|------- + -------|   63*(9 + 14*x)*|------- + -------|                      ||
  ||       x   | /     x*(-3 + 5*x)\   6*|5*\/  2 + x   + ------------|*|- -------------- + ------------ + 3*(9 + 14*x)*|------- + -------| + -------------|                |       |       x   |           |       /      2             |  882*(13 + 21*x)                /    3            98                21        \   27*(9 + 14*x)   98*(25 + 42*x)   1029*(9 + 14*x)     126*(13 + 21*x)                    \2 + 3*x   4 + 7*x/                \2 + 3*x   4 + 7*x/                 \2 + 3*x   4 + 7*x/      252*(9 + 14*x)  ||
  ||-1 + ------|*|-5 + ------------|     |                   ________ | \     4 + 7*x         2 + 3*x                   \2 + 3*x   4 + 7*x/      4 + 7*x   /   6*(9 + 14*x)*|10*x - |-1 + ------|*(-3 + 5*x)|   2*\/  2 + x  *(-3 + 5*x)*|- --------------- + 6*(9 + 14*x)*|---------- + ---------- + -------------------| + ------------- + -------------- + --------------- - ------------------- - ---------------------------------- + -------------------------------- + --------------------------------- + -------------------||
  ||          2| |             2   |     |                  /      2  |                                                                                                     |       |          2|           |                            |              2                  |         2            2   (2 + 3*x)*(4 + 7*x)|              2               2                 2     (2 + 3*x)*(4 + 7*x)                4 + 7*x                             2 + 3*x                             4 + 7*x                (2 + 3*x)*(4 + 7*x)||
  |\     2 + x / \        2 + x    /     \                \/  2 + x   /                                                                                                     \       \     2 + x /           /                            \     (4 + 7*x)                   \(2 + 3*x)    (4 + 7*x)                       /     (2 + 3*x)       (4 + 7*x)         (4 + 7*x)                                                                                                                                                           /|
3*|--------------------------------- + --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - ---------------------------------------------- - ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
  |              ________                                                               (2 + 3*x)*(4 + 7*x)                                                              ________                                                                                                                                                                                (2 + 3*x)*(4 + 7*x)                                                                                                                                                  |
  |             /      2                                                                                                                                                /      2                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      |
  \           \/  2 + x                                                                                                                                               \/  2 + x  *(2 + 3*x)*(4 + 7*x)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 /
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                                                                                                                                             3                                                                                                                                                                                                                                                         
                                                                                                                                                                                                                                                          (2 + 3*x)*(4 + 7*x)                                                                                                                                                                                                                                                          
3((x2x2+21)(x(5x3)x2+25)x2+22(5x3)x2+2(6(14x+9)(98(7x+4)2+21(3x+2)(7x+4)+3(3x+2)2)+63(14x+9)(77x+4+13x+2)7x+442(21x+13)(77x+4+13x+2)7x+4+1029(14x+9)(7x+4)2882(21x+13)(7x+4)2+98(42x+25)(7x+4)2+9(14x+9)(77x+4+13x+2)3x+2+252(14x+9)(3x+2)(7x+4)126(21x+13)(3x+2)(7x+4)+27(14x+9)(3x+2)2)(3x+2)(7x+4)6(10x(5x3)(x2x2+21))(14x+9)(3x+2)(7x+4)x2+2+6(x(5x3)x2+2+5x2+2)(3(14x+9)(77x+4+13x+2)+21(14x+9)7x+414(21x+13)7x+4+3(14x+9)3x+2)(3x+2)(7x+4))(3x+2)(7x+4)3\frac{3 \left(\frac{\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 2} - 1\right) \left(\frac{x \left(5 x - 3\right)}{x^{2} + 2} - 5\right)}{\sqrt{x^{2} + 2}} - \frac{2 \left(5 x - 3\right) \sqrt{x^{2} + 2} \left(6 \left(14 x + 9\right) \left(\frac{98}{\left(7 x + 4\right)^{2}} + \frac{21}{\left(3 x + 2\right) \left(7 x + 4\right)} + \frac{3}{\left(3 x + 2\right)^{2}}\right) + \frac{63 \left(14 x + 9\right) \left(\frac{7}{7 x + 4} + \frac{1}{3 x + 2}\right)}{7 x + 4} - \frac{42 \left(21 x + 13\right) \left(\frac{7}{7 x + 4} + \frac{1}{3 x + 2}\right)}{7 x + 4} + \frac{1029 \left(14 x + 9\right)}{\left(7 x + 4\right)^{2}} - \frac{882 \left(21 x + 13\right)}{\left(7 x + 4\right)^{2}} + \frac{98 \left(42 x + 25\right)}{\left(7 x + 4\right)^{2}} + \frac{9 \left(14 x + 9\right) \left(\frac{7}{7 x + 4} + \frac{1}{3 x + 2}\right)}{3 x + 2} + \frac{252 \left(14 x + 9\right)}{\left(3 x + 2\right) \left(7 x + 4\right)} - \frac{126 \left(21 x + 13\right)}{\left(3 x + 2\right) \left(7 x + 4\right)} + \frac{27 \left(14 x + 9\right)}{\left(3 x + 2\right)^{2}}\right)}{\left(3 x + 2\right) \left(7 x + 4\right)} - \frac{6 \left(10 x - \left(5 x - 3\right) \left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 2} - 1\right)\right) \left(14 x + 9\right)}{\left(3 x + 2\right) \left(7 x + 4\right) \sqrt{x^{2} + 2}} + \frac{6 \left(\frac{x \left(5 x - 3\right)}{\sqrt{x^{2} + 2}} + 5 \sqrt{x^{2} + 2}\right) \left(3 \left(14 x + 9\right) \left(\frac{7}{7 x + 4} + \frac{1}{3 x + 2}\right) + \frac{21 \left(14 x + 9\right)}{7 x + 4} - \frac{14 \left(21 x + 13\right)}{7 x + 4} + \frac{3 \left(14 x + 9\right)}{3 x + 2}\right)}{\left(3 x + 2\right) \left(7 x + 4\right)}\right)}{\left(3 x + 2\right) \left(7 x + 4\right)^{3}}
Gráfico
Derivada de y=((5x-3)sqrt(x^2+2))/(((7x+4)^3)*(3x+2))