Derivada de y=sin^3(5x)*cos^2(x/3)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \sin^{3}{\left(5 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \sin{\left(5 x \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{3}$ tenemos $3 u^{2}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(5 x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 5 x$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $5$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $5 \cos{\left(5 x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $15 \sin^{2}{\left(5 x \right)} \cos{\left(5 x \right)}$

   $g{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \frac{x}{3}$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{3}$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $\frac{1}{3}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- \frac{2 \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$

   Como resultado de: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(5 x \right)} \sin{\left(\frac{x}{3} \right)} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3} + 15 \sin^{2}{\left(5 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} \cos^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\left(43 \cos{\left(\frac{14 x}{3} \right)} + 47 \cos{\left(\frac{16 x}{3} \right)}\right) \sin^{2}{\left(5 x \right)} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{6}$

Respuesta:

$\frac{\left(43 \cos{\left(\frac{14 x}{3} \right)} + 47 \cos{\left(\frac{16 x}{3} \right)}\right) \sin^{2}{\left(5 x \right)} \cos{\left(\frac{x}{3} \right)}}{6}$