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Derivada de la función/ (1-x)/ 8sinx/ y=(2x3+2)^8sinx/ln(1-x)

Derivada de y=(2x3+2)^8sinx/ln(1-x)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          8       
(2*x3 + 2) *sin(x)
------------------
    log(1 - x)
(2x3+2)8sin⁡(x)log⁡(1−x)\frac{\left(2 x_{3} + 2\right)^{8} \sin{\left(x \right)}}{\log{\left(1 - x \right)}} 
((2*x3 + 2)^8*sin(x))/log(1 - x)
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

    f(x)=(2x3+2)8sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \left(2 x_{3} + 2\right)^{8} \sin{\left(x \right)} y g(x)=log⁡(1−x)g{\left(x \right)} = \log{\left(1 - x \right)}.

    Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

        ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

      Entonces, como resultado: (2x3+2)8cos⁡(x)\left(2 x_{3} + 2\right)^{8} \cos{\left(x \right)}

    Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Sustituimos u=1−xu = 1 - x.

    2. Derivado log⁡(u)\log{\left(u \right)} es 1u\frac{1}{u}.

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(1−x)\frac{d}{d x} \left(1 - x\right):

      1. diferenciamos 1−x1 - x miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

        2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          Entonces, como resultado: −1-1

        Como resultado de: −1-1

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      −11−x- \frac{1}{1 - x}

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    (2x3+2)8log⁡(1−x)cos⁡(x)+(2x3+2)8sin⁡(x)1−xlog⁡(1−x)2\frac{\left(2 x_{3} + 2\right)^{8} \log{\left(1 - x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{\left(2 x_{3} + 2\right)^{8} \sin{\left(x \right)}}{1 - x}}{\log{\left(1 - x \right)}^{2}}

  2. Simplificamos:

    256(x3+1)8((x−1)log⁡(1−x)cos⁡(x)−sin⁡(x))(x−1)log⁡(1−x)2\frac{256 \left(x_{3} + 1\right)^{8} \left(\left(x - 1\right) \log{\left(1 - x \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right)}{\left(x - 1\right) \log{\left(1 - x \right)}^{2}}

Respuesta:

256(x3+1)8((x−1)log⁡(1−x)cos⁡(x)−sin⁡(x))(x−1)log⁡(1−x)2\frac{256 \left(x_{3} + 1\right)^{8} \left(\left(x - 1\right) \log{\left(1 - x \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right)}{\left(x - 1\right) \log{\left(1 - x \right)}^{2}}

Primera derivada [src] 
          8                     8       
(2*x3 + 2) *cos(x)    (2*x3 + 2) *sin(x)
------------------ + -------------------
    log(1 - x)                  2       
                     (1 - x)*log (1 - x)
(2x3+2)8cos⁡(x)log⁡(1−x)+(2x3+2)8sin⁡(x)(1−x)log⁡(1−x)2\frac{\left(2 x_{3} + 2\right)^{8} \cos{\left(x \right)}}{\log{\left(1 - x \right)}} + \frac{\left(2 x_{3} + 2\right)^{8} \sin{\left(x \right)}}{\left(1 - x\right) \log{\left(1 - x \right)}^{2}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
              /                                /        2     \       \
              |                                |1 + ----------|*sin(x)|
            8 |                2*cos(x)        \    log(1 - x)/       |
256*(1 + x3) *|-sin(x) - ------------------- + -----------------------|
              |          (-1 + x)*log(1 - x)             2            |
              \                                  (-1 + x) *log(1 - x) /
-----------------------------------------------------------------------
                               log(1 - x)
256(x3+1)8((1+2log⁡(1−x))sin⁡(x)(x−1)2log⁡(1−x)−sin⁡(x)−2cos⁡(x)(x−1)log⁡(1−x))log⁡(1−x)\frac{256 \left(x_{3} + 1\right)^{8} \left(\frac{\left(1 + \frac{2}{\log{\left(1 - x \right)}}\right) \sin{\left(x \right)}}{\left(x - 1\right)^{2} \log{\left(1 - x \right)}} - \sin{\left(x \right)} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{\left(x - 1\right) \log{\left(1 - x \right)}}\right)}{\log{\left(1 - x \right)}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
              /                                  /        3             3     \                                   \
              |                                2*|1 + ---------- + -----------|*sin(x)     /        2     \       |
              |                                  |    log(1 - x)      2       |          3*|1 + ----------|*cos(x)|
            8 |                3*sin(x)          \                 log (1 - x)/            \    log(1 - x)/       |
256*(1 + x3) *|-cos(x) + ------------------- - --------------------------------------- + -------------------------|
              |          (-1 + x)*log(1 - x)                     3                                  2             |
              \                                          (-1 + x) *log(1 - x)               (-1 + x) *log(1 - x)  /
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                     log(1 - x)
256(x3+1)8(3(1+2log⁡(1−x))cos⁡(x)(x−1)2log⁡(1−x)−cos⁡(x)+3sin⁡(x)(x−1)log⁡(1−x)−2(1+3log⁡(1−x)+3log⁡(1−x)2)sin⁡(x)(x−1)3log⁡(1−x))log⁡(1−x)\frac{256 \left(x_{3} + 1\right)^{8} \left(\frac{3 \left(1 + \frac{2}{\log{\left(1 - x \right)}}\right) \cos{\left(x \right)}}{\left(x - 1\right)^{2} \log{\left(1 - x \right)}} - \cos{\left(x \right)} + \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{\left(x - 1\right) \log{\left(1 - x \right)}} - \frac{2 \left(1 + \frac{3}{\log{\left(1 - x \right)}} + \frac{3}{\log{\left(1 - x \right)}^{2}}\right) \sin{\left(x \right)}}{\left(x - 1\right)^{3} \log{\left(1 - x \right)}}\right)}{\log{\left(1 - x \right)}}
Simplificar
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