Derivada de ln(sinx/x)

Solución

Ha introducido [src]

   /sin(x)\
log|------|
   \  x   /

$$\log{\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x} \right)}$$

log(sin(x)/x)

Solución detallada

Sustituimos $u = \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$ .
Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$ .
Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$ :
1. Se aplica la regla de la derivada parcial:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
  
  $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = x$ .
  
  Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. La derivada del seno es igual al coseno:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
  Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
  
  $\frac{x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{x^{2}}$
Como resultado de la secuencia de reglas:

$\frac{x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}}$
Simplificamos:

$\frac{\frac{x}{\tan{\left(x \right)}} - 1}{x}$

Respuesta:

$\frac{\frac{x}{\tan{\left(x \right)}} - 1}{x}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

  /cos(x)   sin(x)\
x*|------ - ------|
  |  x         2  |
  \           x   /
-------------------
       sin(x)

$$\frac{x \left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)}{\sin{\left(x \right)}}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

            sin(x)                                  /  sin(x)         \       
          - ------ + cos(x)                         |- ------ + cos(x)|*cos(x)
              x               2*cos(x)   2*sin(x)   \    x            /       
-sin(x) + ----------------- - -------- + -------- - --------------------------
                  x              x           2                sin(x)          
                                            x                                 
------------------------------------------------------------------------------
                                    sin(x)

$$\frac{- \frac{\left(\cos{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - \sin{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}}{x} - \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x^{2}}}{\sin{\left(x \right)}}$$

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Tercera derivada [src]

               /  2*sin(x)   2*cos(x)         \                                                           /  2*sin(x)   2*cos(x)         \                                      
             2*|- -------- + -------- + sin(x)|                              2    /  sin(x)         \   2*|- -------- + -------- + sin(x)|*cos(x)     /  sin(x)         \       
               |      2         x             |                         2*cos (x)*|- ------ + cos(x)|     |      2         x             |          2*|- ------ + cos(x)|*cos(x)
  6*sin(x)     \     x                        /   2*sin(x)   6*cos(x)             \    x            /     \     x                        /            \    x            /       
- -------- - ---------------------------------- + -------- + -------- + ----------------------------- + ----------------------------------------- - ----------------------------
      3                      x                       x           2                    2                                   sin(x)                              x*sin(x)          
     x                                                          x                  sin (x)                                                                                      
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                     sin(x)

$$\frac{\frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right) \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{2 \left(\sin{\left(x \right)} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x^{2}}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\right) \cos{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}} - \frac{2 \left(\sin{\left(x \right)} + \frac{2 \cos{\left(x \right)}}{x} - \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)}{x} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{6 \cos{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{6 \sin{\left(x \right)}}{x^{3}}}{\sin{\left(x \right)}}$$

Simplificar

Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

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Gráfico:

Definida a trozos:

Solución