Derivada de y=ln((e^x)/(1+e^x))

1. Sustituimos $u = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$.

2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = e^{x}$ y $g{\left(x \right)} = e^{x} + 1$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Derivado $e^{x}$ es.

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $e^{x} + 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         2. Derivado $e^{x}$ es.

         Como resultado de: $e^{x}$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{\left(e^{x} + 1\right) e^{x} - e^{2 x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}$

   Como resultado de la secuencia de reglas:

   $\frac{\left(e^{x} + 1\right) \left(\left(e^{x} + 1\right) e^{x} - e^{2 x}\right) e^{- x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}$

4. Simplificamos:

   $\frac{1}{e^{x} + 1}$

Respuesta:

$\frac{1}{e^{x} + 1}$