Sr Examen

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y=ln(sqrt(x^2+1)+xsqrt(2))/(sqrt(x^2+1)-xsqrt(2))

Derivada de y=ln(sqrt(x^2+1)+xsqrt(2))/(sqrt(x^2+1)-xsqrt(2))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
   /   ________          \
   |  /  2            ___|
log\\/  x  + 1  + x*\/ 2 /
--------------------------
     ________             
    /  2            ___   
  \/  x  + 1  - x*\/ 2    
$$\frac{\log{\left(\sqrt{2} x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}}{- \sqrt{2} x + \sqrt{x^{2} + 1}}$$
log(sqrt(x^2 + 1) + x*sqrt(2))/(sqrt(x^2 + 1) - x*sqrt(2))
Solución detallada
  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    y .

    Para calcular :

    1. Sustituimos .

    2. Derivado es .

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por :

      1. diferenciamos miembro por miembro:

        1. Sustituimos .

        2. Según el principio, aplicamos: tenemos

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por :

          1. diferenciamos miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: tenemos

            2. La derivada de una constante es igual a cero.

            Como resultado de:

          Como resultado de la secuencia de reglas:

        4. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

          1. Según el principio, aplicamos: tenemos

          Entonces, como resultado:

        Como resultado de:

      Como resultado de la secuencia de reglas:

    Para calcular :

    1. diferenciamos miembro por miembro:

      1. Sustituimos .

      2. Según el principio, aplicamos: tenemos

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por :

        1. diferenciamos miembro por miembro:

          1. La derivada de una constante es igual a cero.

          2. Según el principio, aplicamos: tenemos

          Como resultado de:

        Como resultado de la secuencia de reglas:

      4. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

        1. Según el principio, aplicamos: tenemos

        Entonces, como resultado:

      Como resultado de:

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

  2. Simplificamos:


Respuesta:

Gráfica
Primera derivada [src]
                                                                           /   ________          \
                ___        x                      /  ___        x     \    |  /  2            ___|
              \/ 2  + -----------                 |\/ 2  - -----------|*log\\/  x  + 1  + x*\/ 2 /
                         ________                 |           ________|                           
                        /  2                      |          /  2     |                           
                      \/  x  + 1                  \        \/  x  + 1 /                           
----------------------------------------------- + ------------------------------------------------
/   ________          \ /   ________          \                                      2            
|  /  2            ___| |  /  2            ___|               /   ________          \             
\\/  x  + 1  + x*\/ 2 /*\\/  x  + 1  - x*\/ 2 /               |  /  2            ___|             
                                                              \\/  x  + 1  - x*\/ 2 /             
$$\frac{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \sqrt{2}}{\left(- \sqrt{2} x + \sqrt{x^{2} + 1}\right) \left(\sqrt{2} x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)} + \frac{\left(- \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \sqrt{2}\right) \log{\left(\sqrt{2} x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}}{\left(- \sqrt{2} x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)^{2}}$$
Segunda derivada [src]
                                   2   /                                         2\                                                                               
        2     /  ___        x     \    |          2       /    ___        x     \ |                                                                               
       x      |\/ 2  + -----------|    |         x      2*|- \/ 2  + -----------| |                                                                               
-1 + ------   |           ________|    |  -1 + ------     |             ________| |                                                                               
          2   |          /      2 |    |            2     |            /      2 | |    /   ________          \                                                    
     1 + x    \        \/  1 + x  /    |       1 + x      \          \/  1 + x  / |    |  /      2        ___|      /  ___        x     \ /    ___        x     \ 
----------- + ----------------------   |- ----------- + --------------------------|*log\\/  1 + x   + x*\/ 2 /    2*|\/ 2  + -----------|*|- \/ 2  + -----------| 
   ________      ________              |     ________         ________            |                                 |           ________| |             ________| 
  /      2      /      2        ___    |    /      2         /      2        ___  |                                 |          /      2 | |            /      2 | 
\/  1 + x     \/  1 + x   + x*\/ 2     \  \/  1 + x      - \/  1 + x   + x*\/ 2   /                                 \        \/  1 + x  / \          \/  1 + x  / 
------------------------------------ - ----------------------------------------------------------------------- - -------------------------------------------------
          ________                                                  ________                                     /   ________          \ /     ________          \
         /      2        ___                                       /      2        ___                           |  /      2        ___| |    /      2        ___|
       \/  1 + x   + x*\/ 2                                    - \/  1 + x   + x*\/ 2                            \\/  1 + x   + x*\/ 2 /*\- \/  1 + x   + x*\/ 2 /
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                          ________                                                                                
                                                                         /      2        ___                                                                      
                                                                     - \/  1 + x   + x*\/ 2                                                                       
$$\frac{\frac{\frac{\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \sqrt{2}\right)^{2}}{\sqrt{2} x + \sqrt{x^{2} + 1}} + \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - 1}{\sqrt{x^{2} + 1}}}{\sqrt{2} x + \sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{\left(\frac{2 \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \sqrt{2}\right)^{2}}{\sqrt{2} x - \sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - 1}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right) \log{\left(\sqrt{2} x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}}{\sqrt{2} x - \sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{2 \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \sqrt{2}\right) \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{2} x - \sqrt{x^{2} + 1}\right) \left(\sqrt{2} x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)}}{\sqrt{2} x - \sqrt{x^{2} + 1}}$$
Tercera derivada [src]
                         3                         /        2  \                           /                         3                       /        2  \                        \                                                                                                                                                                     
    /  ___        x     \        /        2  \     |       x   | /  ___        x     \     |  /    ___        x     \      /        2  \     |       x   | /    ___        x     \|                                                      /                                         2\                             /                                   2\
  2*|\/ 2  + -----------|        |       x   |   3*|-1 + ------|*|\/ 2  + -----------|     |2*|- \/ 2  + -----------|      |       x   |   2*|-1 + ------|*|- \/ 2  + -----------||                                                      |          2       /    ___        x     \ |                             |        2     /  ___        x     \ |
    |           ________|    3*x*|-1 + ------|     |          2| |           ________|     |  |             ________|    x*|-1 + ------|     |          2| |             ________||                                                      |         x      2*|- \/ 2  + -----------| |                             |       x      |\/ 2  + -----------| |
    |          /      2 |        |          2|     \     1 + x / |          /      2 |     |  |            /      2 |      |          2|     \     1 + x / |            /      2 ||    /   ________          \                           |  -1 + ------     |             ________| |                             |-1 + ------   |           ________| |
    \        \/  1 + x  /        \     1 + x /                   \        \/  1 + x  /     |  \          \/  1 + x  /      \     1 + x /                   \          \/  1 + x  /|    |  /      2        ___|                           |            2     |            /      2 | |                             |          2   |          /      2 | |
  ------------------------ + ----------------- + -------------------------------------   3*|-------------------------- + --------------- - ---------------------------------------|*log\\/  1 + x   + x*\/ 2 /     /  ___        x     \ |       1 + x      \          \/  1 + x  / |     /    ___        x     \ |     1 + x    \        \/  1 + x  / |
                         2              3/2          ________ /   ________          \      |                         2             3/2         ________ /     ________          \ |                              3*|\/ 2  + -----------|*|- ----------- + --------------------------|   3*|- \/ 2  + -----------|*|----------- + ----------------------|
  /   ________          \       /     2\            /      2  |  /      2        ___|      |/     ________          \      /     2\           /      2  |    /      2        ___| |                                |           ________| |     ________         ________            |     |             ________| |   ________      ________           |
  |  /      2        ___|       \1 + x /          \/  1 + x  *\\/  1 + x   + x*\/ 2 /      ||    /      2        ___|      \1 + x /         \/  1 + x  *\- \/  1 + x   + x*\/ 2 / |                                |          /      2 | |    /      2         /      2        ___  |     |            /      2 | |  /      2      /      2        ___ |
  \\/  1 + x   + x*\/ 2 /                                                                  \\- \/  1 + x   + x*\/ 2 /                                                             /                                \        \/  1 + x  / \  \/  1 + x      - \/  1 + x   + x*\/ 2   /     \          \/  1 + x  / \\/  1 + x     \/  1 + x   + x*\/ 2  /
- ------------------------------------------------------------------------------------ - --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - -------------------------------------------------------------------- + ----------------------------------------------------------------
                                    ________                                                                                                 ________                                                                     /   ________          \ /     ________          \                    /   ________          \ /     ________          \        
                                   /      2        ___                                                                                      /      2        ___                                                           |  /      2        ___| |    /      2        ___|                    |  /      2        ___| |    /      2        ___|        
                                 \/  1 + x   + x*\/ 2                                                                                   - \/  1 + x   + x*\/ 2                                                            \\/  1 + x   + x*\/ 2 /*\- \/  1 + x   + x*\/ 2 /                    \\/  1 + x   + x*\/ 2 /*\- \/  1 + x   + x*\/ 2 /        
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                                                                                                                                                                     ________                                                                                                                                                                           
                                                                                                                                                                    /      2        ___                                                                                                                                                                 
                                                                                                                                                                - \/  1 + x   + x*\/ 2                                                                                                                                                                  
$$\frac{- \frac{\frac{3 x \left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \sqrt{2}\right)^{3}}{\left(\sqrt{2} x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)^{2}} + \frac{3 \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \sqrt{2}\right) \left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)}{\sqrt{x^{2} + 1} \left(\sqrt{2} x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)}}{\sqrt{2} x + \sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{3 \left(\frac{x \left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \sqrt{2}\right)^{3}}{\left(\sqrt{2} x - \sqrt{x^{2} + 1}\right)^{2}} - \frac{2 \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \sqrt{2}\right) \left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)}{\sqrt{x^{2} + 1} \left(\sqrt{2} x - \sqrt{x^{2} + 1}\right)}\right) \log{\left(\sqrt{2} x + \sqrt{x^{2} + 1} \right)}}{\sqrt{2} x - \sqrt{x^{2} + 1}} + \frac{3 \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \sqrt{2}\right) \left(\frac{\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \sqrt{2}\right)^{2}}{\sqrt{2} x + \sqrt{x^{2} + 1}} + \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - 1}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right)}{\left(\sqrt{2} x - \sqrt{x^{2} + 1}\right) \left(\sqrt{2} x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)} - \frac{3 \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \sqrt{2}\right) \left(\frac{2 \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \sqrt{2}\right)^{2}}{\sqrt{2} x - \sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - 1}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right)}{\left(\sqrt{2} x - \sqrt{x^{2} + 1}\right) \left(\sqrt{2} x + \sqrt{x^{2} + 1}\right)}}{\sqrt{2} x - \sqrt{x^{2} + 1}}$$
Gráfico
Derivada de y=ln(sqrt(x^2+1)+xsqrt(2))/(sqrt(x^2+1)-xsqrt(2))