Derivada de xlnx/sinx

Solución

Ha introducido [src]

x*log(x)
--------
 sin(x)

$$\frac{x \log{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$

(x*log(x))/sin(x)

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = x \log{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
  
  $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
  
  $f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
  $g{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
  1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$ .
  Como resultado de: $\log{\left(x \right)} + 1$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. La derivada del seno es igual al coseno:
  
  $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{- x \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
Simplificamos:

$\frac{- \frac{x \log{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}} + \log{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{- \frac{x \log{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)}} + \log{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

1 + log(x)   x*cos(x)*log(x)
---------- - ---------------
  sin(x)            2       
                 sin (x)

$$- \frac{x \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\log{\left(x \right)} + 1}{\sin{\left(x \right)}}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

      /         2   \                               
1     |    2*cos (x)|          2*(1 + log(x))*cos(x)
- + x*|1 + ---------|*log(x) - ---------------------
x     |        2    |                  sin(x)       
      \     sin (x) /                               
----------------------------------------------------
                       sin(x)

$$\frac{x \left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \log{\left(x \right)} - \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{1}{x}}{\sin{\left(x \right)}}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

                                                     /         2   \              
                                                     |    6*cos (x)|              
                                                   x*|5 + ---------|*cos(x)*log(x)
         /         2   \                             |        2    |              
  1      |    2*cos (x)|                3*cos(x)     \     sin (x) /              
- -- + 3*|1 + ---------|*(1 + log(x)) - -------- - -------------------------------
   2     |        2    |                x*sin(x)                sin(x)            
  x      \     sin (x) /                                                          
----------------------------------------------------------------------------------
                                      sin(x)

$$\frac{- \frac{x \left(5 + \frac{6 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} + 3 \left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) - \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{x \sin{\left(x \right)}} - \frac{1}{x^{2}}}{\sin{\left(x \right)}}$$

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Gráfico

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