Derivada de (x^k)*sin(lnx)

Solución

Ha introducido [src]

 k            
x *sin(log(x))

$$x^{k} \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$$

x^k*sin(log(x))

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

$f{\left(x \right)} = x^{k}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Según el principio, aplicamos: $x^{k}$ tenemos $\frac{k x^{k}}{x}$
$g{\left(x \right)} = \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Sustituimos $u = \log{\left(x \right)}$ .
2. La derivada del seno es igual al coseno:
  
  $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}$ :
  1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$ .
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $\frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}$
Como resultado de: $\frac{k x^{k} \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x} + \frac{x^{k} \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}$
Simplificamos:

$x^{k - 1} \left(k \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right)$

Respuesta:

$x^{k - 1} \left(k \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right)$

Primera derivada [src]

 k                  k            
x *cos(log(x))   k*x *sin(log(x))
-------------- + ----------------
      x                 x

$$\frac{k x^{k} \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x} + \frac{x^{k} \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}$$

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Segunda derivada [src]

 k                                                                        
x *(-cos(log(x)) - sin(log(x)) + 2*k*cos(log(x)) + k*(-1 + k)*sin(log(x)))
--------------------------------------------------------------------------
                                     2                                    
                                    x

$$\frac{x^{k} \left(k \left(k - 1\right) \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 2 k \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right)}{x^{2}}$$

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Tercera derivada [src]

 k /                                                    /     2      \                                                     \
x *\3*sin(log(x)) - 3*k*(cos(log(x)) + sin(log(x))) + k*\2 + k  - 3*k/*sin(log(x)) + 3*k*(-1 + k)*cos(log(x)) + cos(log(x))/
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                              3                                                             
                                                             x

$$\frac{x^{k} \left(3 k \left(k - 1\right) \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - 3 k \left(\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right) + k \left(k^{2} - 3 k + 2\right) \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + 3 \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right)}{x^{3}}$$

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¿Cómo usar?

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Gráfico:

Definida a trozos:

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