Derivada de x+ln(-x)/x

1. diferenciamos $x + \frac{\log{\left(- x \right)}}{x}$ miembro por miembro:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \log{\left(- x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = x$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = - x$.

      2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(- x\right)$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $-1$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{1}{x}$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{1 - \log{\left(- x \right)}}{x^{2}}$

   Como resultado de: $1 + \frac{1 - \log{\left(- x \right)}}{x^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x^{2} - \log{\left(- x \right)} + 1}{x^{2}}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} - \log{\left(- x \right)} + 1}{x^{2}}$