Sr Examen

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x*x*sqrt(x*x-1)/(2*x*x-1)
Derivada de la función/ 2*x*x/ x*x-1/ x*sqrt/ x*x*sqrt(x*x-1)/(2*x*x-1)

Derivada de x*x*sqrt(x*x-1)/(2*x*x-1)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
      _________
x*x*\/ x*x - 1 
---------------
   2*x*x - 1
xxxx−1x2x−1\frac{x x \sqrt{x x - 1}}{x 2 x - 1} 
((x*x)*sqrt(x*x - 1))/((2*x)*x - 1)
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

    f(x)=x2x2−1f{\left(x \right)} = x^{2} \sqrt{x^{2} - 1} y g(x)=2x2−1g{\left(x \right)} = 2 x^{2} - 1.

    Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

      f(x)=x2f{\left(x \right)} = x^{2}; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

      g(x)=x2−1g{\left(x \right)} = \sqrt{x^{2} - 1}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=x2−1u = x^{2} - 1.

      2. Según el principio, aplicamos: u\sqrt{u} tenemos 12u\frac{1}{2 \sqrt{u}}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(x2−1)\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 1\right):

        1. diferenciamos x2−1x^{2} - 1 miembro por miembro:

          1. La derivada de una constante −1-1 es igual a cero.

          2. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

          Como resultado de: 2x2 x

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        xx2−1\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}

      Como resultado de: x3x2−1+2xx2−1\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} - 1}} + 2 x \sqrt{x^{2} - 1}

    Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. diferenciamos 2x2−12 x^{2} - 1 miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante −1-1 es igual a cero.

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

        1. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

        Entonces, como resultado: 4x4 x

      Como resultado de: 4x4 x

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    −4x3x2−1+(2x2−1)(x3x2−1+2xx2−1)(2x2−1)2\frac{- 4 x^{3} \sqrt{x^{2} - 1} + \left(2 x^{2} - 1\right) \left(\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} - 1}} + 2 x \sqrt{x^{2} - 1}\right)}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}}

  2. Simplificamos:

    x(2x4−3x2+2)x2−1(4x4−4x2+1)\frac{x \left(2 x^{4} - 3 x^{2} + 2\right)}{\sqrt{x^{2} - 1} \left(4 x^{4} - 4 x^{2} + 1\right)}

Respuesta:

x(2x4−3x2+2)x2−1(4x4−4x2+1)\frac{x \left(2 x^{4} - 3 x^{2} + 2\right)}{\sqrt{x^{2} - 1} \left(4 x^{4} - 4 x^{2} + 1\right)}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-510
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
      3                                         
     x              _________                   
----------- + 2*x*\/ x*x - 1                    
  _________                        3   _________
\/ x*x - 1                      4*x *\/ x*x - 1 
----------------------------- - ----------------
          2*x*x - 1                          2  
                                  (2*x*x - 1)
−4x3xx−1(x2x−1)2+x3xx−1+2xxx−1x2x−1- \frac{4 x^{3} \sqrt{x x - 1}}{\left(x 2 x - 1\right)^{2}} + \frac{\frac{x^{3}}{\sqrt{x x - 1}} + 2 x \sqrt{x x - 1}}{x 2 x - 1}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
                                                         /     _________         2     \                                     
                                   /         2  \      2 |    /       2         x      |           _________ /           2  \
                                 2 |        x   |   8*x *|2*\/  -1 + x   + ------------|      2   /       2  |        8*x   |
                                x *|-1 + -------|        |                    _________|   4*x *\/  -1 + x  *|-1 + ---------|
     _________          2          |           2|        |                   /       2 |                     |             2|
    /       2        4*x           \     -1 + x /        \                 \/  -1 + x  /                     \     -1 + 2*x /
2*\/  -1 + x   + ------------ - ----------------- - ------------------------------------ + ----------------------------------
                    _________         _________                          2                                     2             
                   /       2         /       2                   -1 + 2*x                              -1 + 2*x              
                 \/  -1 + x        \/  -1 + x                                                                                
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                  2                                                          
                                                          -1 + 2*x
4x2x2−1(8x22x2−1−1)2x2−1−8x2(x2x2−1+2x2−1)2x2−1−x2(x2x2−1−1)x2−1+4x2x2−1+2x2−12x2−1\frac{\frac{4 x^{2} \sqrt{x^{2} - 1} \left(\frac{8 x^{2}}{2 x^{2} - 1} - 1\right)}{2 x^{2} - 1} - \frac{8 x^{2} \left(\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}} + 2 \sqrt{x^{2} - 1}\right)}{2 x^{2} - 1} - \frac{x^{2} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{\sqrt{x^{2} - 1}} + \frac{4 x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}} + 2 \sqrt{x^{2} - 1}}{2 x^{2} - 1}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
    /                                    /                                   /         2  \\                                                                                           \
    |                 /         2  \     |                                 2 |        x   ||                                                                                           |
    |               2 |        x   |     |                                x *|-1 + -------||                                                                                           |
    |              x *|-1 + -------|     |     _________          2          |           2||     /           2  \ /     _________         2     \                                      |
    |         2       |           2|     |    /       2        4*x           \     -1 + x /|     |        8*x   | |    /       2         x      |            _________ /           2  \|
    |      2*x        \     -1 + x /   4*|2*\/  -1 + x   + ------------ - -----------------|   4*|-1 + ---------|*|2*\/  -1 + x   + ------------|       2   /       2  |        4*x   ||
    |4 - ------- + -----------------     |                    _________         _________  |     |             2| |                    _________|   32*x *\/  -1 + x  *|-1 + ---------||
    |          2              2          |                   /       2         /       2   |     \     -1 + 2*x / |                   /       2 |                      |             2||
    |    -1 + x         -1 + x           \                 \/  -1 + x        \/  -1 + x    /                      \                 \/  -1 + x  /                      \     -1 + 2*x /|
3*x*|------------------------------- - ----------------------------------------------------- + -------------------------------------------------- - -----------------------------------|
    |             _________                                          2                                                     2                                               2           |
    |            /       2                                   -1 + 2*x                                              -1 + 2*x                                     /        2\            |
    \          \/  -1 + x                                                                                                                                       \-1 + 2*x /            /
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                               2                                                                                        
                                                                                       -1 + 2*x
3x(−32x2x2−1(4x22x2−1−1)(2x2−1)2+4(x2x2−1+2x2−1)(8x22x2−1−1)2x2−1−4(−x2(x2x2−1−1)x2−1+4x2x2−1+2x2−1)2x2−1+x2(x2x2−1−1)x2−1−2x2x2−1+4x2−1)2x2−1\frac{3 x \left(- \frac{32 x^{2} \sqrt{x^{2} - 1} \left(\frac{4 x^{2}}{2 x^{2} - 1} - 1\right)}{\left(2 x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{4 \left(\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}} + 2 \sqrt{x^{2} - 1}\right) \left(\frac{8 x^{2}}{2 x^{2} - 1} - 1\right)}{2 x^{2} - 1} - \frac{4 \left(- \frac{x^{2} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{\sqrt{x^{2} - 1}} + \frac{4 x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 1}} + 2 \sqrt{x^{2} - 1}\right)}{2 x^{2} - 1} + \frac{\frac{x^{2} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{x^{2} - 1} - \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} + 4}{\sqrt{x^{2} - 1}}\right)}{2 x^{2} - 1}
Simplificar
Gráfico
Derivada de x*x*sqrt(x*x-1)/(2*x*x-1)
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