Derivada de y=(sinx-xcosx)/(sinx+cosx)

Solución

Ha introducido [src]

sin(x) - x*cos(x)
-----------------
 sin(x) + cos(x)

$$\frac{- x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}$$

(sin(x) - x*cos(x))/(sin(x) + cos(x))

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

$f{\left(x \right)} = - x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$ .

Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. diferenciamos $- x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$ miembro por miembro:
  1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
    1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
      
      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$
      
      $f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
        
        $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      Como resultado de: $- x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$
    Entonces, como resultado: $x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$
  2. La derivada del seno es igual al coseno:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  Como resultado de: $x \sin{\left(x \right)}$
Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. diferenciamos $\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$ miembro por miembro:
  1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
    
    $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
  2. La derivada del seno es igual al coseno:
    
    $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
  Como resultado de: $- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{x \left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} - \left(- x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \left(- \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)}{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}$
Simplificamos:

$\frac{x - \frac{\sqrt{2} \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} + \frac{1}{2}}{\sin{\left(2 x \right)} + 1}$

Respuesta:

$\frac{x - \frac{\sqrt{2} \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} + \frac{1}{2}}{\sin{\left(2 x \right)} + 1}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

    x*sin(x)      (-cos(x) + sin(x))*(sin(x) - x*cos(x))
--------------- + --------------------------------------
sin(x) + cos(x)                              2          
                            (sin(x) + cos(x))

$$\frac{x \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}} + \frac{\left(- x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)}{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}$$

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Segunda derivada [src]

           /                        2\                                                              
           |    2*(-cos(x) + sin(x)) |                        2*x*(-cos(x) + sin(x))*sin(x)         
x*cos(x) - |1 + ---------------------|*(-sin(x) + x*cos(x)) + ----------------------------- + sin(x)
           |                       2 |                               cos(x) + sin(x)                
           \      (cos(x) + sin(x))  /                                                              
----------------------------------------------------------------------------------------------------
                                          cos(x) + sin(x)

$$\frac{\frac{2 x \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}} + x \cos{\left(x \right)} - \left(x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) \left(\frac{2 \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}} + 1\right) + \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}$$

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3-я производная [src]

                                                                                                          /                        2\                                        
                                                                                                          |    6*(-cos(x) + sin(x)) |                                        
                                                                                                          |5 + ---------------------|*(-cos(x) + sin(x))*(-sin(x) + x*cos(x))
                          /                        2\                                                     |                       2 |                                        
                          |    2*(-cos(x) + sin(x)) |          3*(-cos(x) + sin(x))*(x*cos(x) + sin(x))   \      (cos(x) + sin(x))  /                                        
2*cos(x) - x*sin(x) + 3*x*|1 + ---------------------|*sin(x) + ---------------------------------------- - -------------------------------------------------------------------
                          |                       2 |                      cos(x) + sin(x)                                          cos(x) + sin(x)                          
                          \      (cos(x) + sin(x))  /                                                                                                                        
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                               cos(x) + sin(x)

$$\frac{3 x \left(\frac{2 \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}} + 1\right) \sin{\left(x \right)} - x \sin{\left(x \right)} - \frac{\left(x \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}\right) \left(\frac{6 \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}}{\left(\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)^{2}} + 5\right) \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}} + \frac{3 \left(x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}\right) \left(\sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right)}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}} + 2 \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}}$$

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Tercera derivada [src]

                                                                                                          /                        2\                                        
                                                                                                          |    6*(-cos(x) + sin(x)) |                                        
                                                                                                          |5 + ---------------------|*(-cos(x) + sin(x))*(-sin(x) + x*cos(x))
                          /                        2\                                                     |                       2 |                                        
                          |    2*(-cos(x) + sin(x)) |          3*(-cos(x) + sin(x))*(x*cos(x) + sin(x))   \      (cos(x) + sin(x))  /                                        
2*cos(x) - x*sin(x) + 3*x*|1 + ---------------------|*sin(x) + ---------------------------------------- - -------------------------------------------------------------------
                          |                       2 |                      cos(x) + sin(x)                                          cos(x) + sin(x)                          
                          \      (cos(x) + sin(x))  /                                                                                                                        
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                               cos(x) + sin(x)

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