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y=x*cosx*sinx+1/2*cos^2x
Derivada de la función/ x+1/2/ x*sin/ cos^2/ x*cosx/ y=x*cosx*sinx+1/2*cos^2x

Derivada de y=x*cosx*sinx+1/2*cos^2x

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                     2   
                  cos (x)
x*cos(x)*sin(x) + -------
                     2
xcos⁡(x)sin⁡(x)+cos⁡2(x)2x \cos{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2} 
(x*cos(x))*sin(x) + cos(x)^2/2
Solución detallada

  1. diferenciamos xcos⁡(x)sin⁡(x)+cos⁡2(x)2x \cos{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2} miembro por miembro:

    1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

      f(x)=xcos⁡(x)f{\left(x \right)} = x \cos{\left(x \right)}; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

        ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

        f(x)=xf{\left(x \right)} = x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

        g(x)=cos⁡(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

          ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

        Como resultado de: −xsin⁡(x)+cos⁡(x)- x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}

      g(x)=sin⁡(x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

        ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

      Como resultado de: xcos⁡2(x)+(−xsin⁡(x)+cos⁡(x))sin⁡(x)x \cos^{2}{\left(x \right)} + \left(- x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}

    2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

      2. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxcos⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}:

        1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

          ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        −2sin⁡(x)cos⁡(x)- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

      Entonces, como resultado: −sin⁡(x)cos⁡(x)- \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

    Como resultado de: xcos⁡2(x)+(−xsin⁡(x)+cos⁡(x))sin⁡(x)−sin⁡(x)cos⁡(x)x \cos^{2}{\left(x \right)} + \left(- x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

  2. Simplificamos:

    xcos⁡(2x)x \cos{\left(2 x \right)}

Respuesta:

xcos⁡(2x)x \cos{\left(2 x \right)}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-2020
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
     2                                                 
x*cos (x) + (-x*sin(x) + cos(x))*sin(x) - cos(x)*sin(x)
xcos⁡2(x)+(−xsin⁡(x)+cos⁡(x))sin⁡(x)−sin⁡(x)cos⁡(x)x \cos^{2}{\left(x \right)} + \left(- x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
   2                                                                                    
sin (x) - (-cos(x) + x*sin(x))*cos(x) - (2*sin(x) + x*cos(x))*sin(x) - 2*x*cos(x)*sin(x)
−2xsin⁡(x)cos⁡(x)−(xsin⁡(x)−cos⁡(x))cos⁡(x)−(xcos⁡(x)+2sin⁡(x))sin⁡(x)+sin⁡2(x)- 2 x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \left(x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} - \left(x \cos{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} + \sin^{2}{\left(x \right)}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
                                                                     2                                              2   
(-cos(x) + x*sin(x))*sin(x) + (-3*cos(x) + x*sin(x))*sin(x) - 2*x*cos (x) - 2*(2*sin(x) + x*cos(x))*cos(x) + 2*x*sin (x)
2xsin⁡2(x)−2xcos⁡2(x)+(xsin⁡(x)−3cos⁡(x))sin⁡(x)+(xsin⁡(x)−cos⁡(x))sin⁡(x)−2(xcos⁡(x)+2sin⁡(x))cos⁡(x)2 x \sin^{2}{\left(x \right)} - 2 x \cos^{2}{\left(x \right)} + \left(x \sin{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} + \left(x \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} - 2 \left(x \cos{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=x*cosx*sinx+1/2*cos^2x
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