Derivada de y=sin^3*2xcos*8*x^5

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x \sin^{3}{\left(2 \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Entonces, como resultado: $\sin^{3}{\left(2 \right)}$

   $g{\left(x \right)} = \cos^{5}{\left(8 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \cos{\left(8 x \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{5}$ tenemos $5 u^{4}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cos{\left(8 x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 8 x$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 8 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $8$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- 8 \sin{\left(8 x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- 40 \sin{\left(8 x \right)} \cos^{4}{\left(8 x \right)}$

   Como resultado de: $- 40 x \sin^{3}{\left(2 \right)} \sin{\left(8 x \right)} \cos^{4}{\left(8 x \right)} + \sin^{3}{\left(2 \right)} \cos^{5}{\left(8 x \right)}$

2. Simplificamos:

   $\left(- 40 x \sin{\left(8 x \right)} + \cos{\left(8 x \right)}\right) \sin^{3}{\left(2 \right)} \cos^{4}{\left(8 x \right)}$

Respuesta:

$\left(- 40 x \sin{\left(8 x \right)} + \cos{\left(8 x \right)}\right) \sin^{3}{\left(2 \right)} \cos^{4}{\left(8 x \right)}$