Derivada de y=ln(2x)*tg(3^x)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \log{\left(2 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 2 x$.

   2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $2$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{1}{x}$

   $g{\left(x \right)} = \tan{\left(3^{x} \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      $\tan{\left(3^{x} \right)} = \frac{\sin{\left(3^{x} \right)}}{\cos{\left(3^{x} \right)}}$

   2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(3^{x} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(3^{x} \right)}$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 3^{x}$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3^{x}$:

         1. $\frac{d}{d x} 3^{x} = 3^{x} \log{\left(3 \right)}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $3^{x} \log{\left(3 \right)} \cos{\left(3^{x} \right)}$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 3^{x}$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3^{x}$:

         1. $\frac{d}{d x} 3^{x} = 3^{x} \log{\left(3 \right)}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- 3^{x} \log{\left(3 \right)} \sin{\left(3^{x} \right)}$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{3^{x} \log{\left(3 \right)} \sin^{2}{\left(3^{x} \right)} + 3^{x} \log{\left(3 \right)} \cos^{2}{\left(3^{x} \right)}}{\cos^{2}{\left(3^{x} \right)}}$

   Como resultado de: $\frac{\left(3^{x} \log{\left(3 \right)} \sin^{2}{\left(3^{x} \right)} + 3^{x} \log{\left(3 \right)} \cos^{2}{\left(3^{x} \right)}\right) \log{\left(2 x \right)}}{\cos^{2}{\left(3^{x} \right)}} + \frac{\tan{\left(3^{x} \right)}}{x}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\log{\left(3^{3^{x} x} \right)} \log{\left(2 x \right)} + \frac{\sin{\left(2 \cdot 3^{x} \right)}}{2}}{x \cos^{2}{\left(3^{x} \right)}}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(3^{3^{x} x} \right)} \log{\left(2 x \right)} + \frac{\sin{\left(2 \cdot 3^{x} \right)}}{2}}{x \cos^{2}{\left(3^{x} \right)}}$