Derivada de y=x^2*sqrt(1+sqrt(x))

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x^{2}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

   $g{\left(x \right)} = \sqrt{\sqrt{x} + 1}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \sqrt{x} + 1$.

   2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x} + 1\right)$:

      1. diferenciamos $\sqrt{x} + 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

         Como resultado de: $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{1}{4 \sqrt{x} \sqrt{\sqrt{x} + 1}}$

   Como resultado de: $\frac{x^{\frac{3}{2}}}{4 \sqrt{\sqrt{x} + 1}} + 2 x \sqrt{\sqrt{x} + 1}$

2. Simplificamos:

   $\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 8 x}{4 \sqrt{\sqrt{x} + 1}}$

Respuesta:

$\frac{9 x^{\frac{3}{2}} + 8 x}{4 \sqrt{\sqrt{x} + 1}}$