Derivada de xln((x+1)/x)

Ha introducido [src]

     /x + 1\
x*log|-----|
     \  x  /

$$x \log{\left(\frac{x + 1}{x} \right)}$$

x*log((x + 1)/x)

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

$f{\left(x \right)} = x$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
$g{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{x + 1}{x} \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Sustituimos $u = \frac{x + 1}{x}$ .
2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$ .
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x + 1}{x}$ :
  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = x + 1$ y $g{\left(x \right)} = x$ .
    
    Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. diferenciamos $x + 1$ miembro por miembro:
      1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.
      2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
      Como resultado de: $1$
    Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
    
    $- \frac{1}{x^{2}}$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $- \frac{1}{x \left(x + 1\right)}$
Como resultado de: $\log{\left(\frac{x + 1}{x} \right)} - \frac{1}{x + 1}$
Simplificamos:

$\frac{\left(x + 1\right) \log{\left(\frac{x + 1}{x} \right)} - 1}{x + 1}$

Respuesta:

$\frac{\left(x + 1\right) \log{\left(\frac{x + 1}{x} \right)} - 1}{x + 1}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

 2 /1   x + 1\             
x *|- - -----|             
   |x      2 |             
   \      x  /      /x + 1\
-------------- + log|-----|
    x + 1           \  x  /

$$\frac{x^{2} \left(\frac{1}{x} - \frac{x + 1}{x^{2}}\right)}{x + 1} + \log{\left(\frac{x + 1}{x} \right)}$$

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Segunda derivada [src]

/    1 + x\ /      /1     1  \\
|1 - -----|*|2 - x*|- + -----||
\      x  / \      \x   1 + x//
-------------------------------
             1 + x

$$\frac{\left(1 - \frac{x + 1}{x}\right) \left(- x \left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x}\right) + 2\right)}{x + 1}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

/    1 + x\ /  3     3         /1       1           1    \\
|1 - -----|*|- - - ----- + 2*x*|-- + -------- + ---------||
\      x  / |  x   1 + x       | 2          2   x*(1 + x)||
            \                  \x    (1 + x)             //
-----------------------------------------------------------
                           1 + x

$$\frac{\left(1 - \frac{x + 1}{x}\right) \left(2 x \left(\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x \left(x + 1\right)} + \frac{1}{x^{2}}\right) - \frac{3}{x + 1} - \frac{3}{x}\right)}{x + 1}$$

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Gráfico

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¿Cómo usar?

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Definida a trozos:

Solución