Derivada de -x*log(x)-(1-x)*log(1-x)

1. diferenciamos $- x \log{\left(x \right)} - \left(1 - x\right) \log{\left(1 - x \right)}$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = - x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $-1$

      $g{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$.

      Como resultado de: $- \log{\left(x \right)} - 1$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = 1 - x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. diferenciamos $1 - x$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $-1$

            Como resultado de: $-1$

         $g{\left(x \right)} = \log{\left(1 - x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 1 - x$.

         2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(1 - x\right)$:

            1. diferenciamos $1 - x$ miembro por miembro:

               1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

               2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $-1$

               Como resultado de: $-1$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- \frac{1}{1 - x}$

         Como resultado de: $- \log{\left(1 - x \right)} - 1$

      Entonces, como resultado: $\log{\left(1 - x \right)} + 1$

   Como resultado de: $- \log{\left(x \right)} + \log{\left(1 - x \right)}$

Respuesta:

$- \log{\left(x \right)} + \log{\left(1 - x \right)}$