Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ -x*log(x)-(1-x)*log(1-x)

Gráfico de la función y = -x*log(x)-(1-x)*log(1-x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = -x*log(x) - (1 - x)*log(1 - x)
f(x)=−xlog⁡(x)−(1−x)log⁡(1−x)f{\left(x \right)} = - x \log{\left(x \right)} - \left(1 - x\right) \log{\left(1 - x \right)} 
f = (-x)*log(x) - (1 - x)*log(1 - x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.01.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−xlog⁡(x)−(1−x)log⁡(1−x)=0- x \log{\left(x \right)} - \left(1 - x\right) \log{\left(1 - x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
x2=1x_{2} = 1
x3=1x_{3} = 1
x4=1x_{4} = 1
x5=1.00000000000003x_{5} = 1.00000000000003
x6=1.00000000000002x_{6} = 1.00000000000002
x7=1x_{7} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-x)*log(x) - (1 - x)*log(1 - x).
−0log⁡(0)−(1−0)log⁡(1−0)- 0 \log{\left(0 \right)} - \left(1 - 0\right) \log{\left(1 - 0 \right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−log⁡(x)+log⁡(1−x)−1−x−11−x=0- \log{\left(x \right)} + \log{\left(1 - x \right)} - 1 - \frac{x - 1}{1 - x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(1/2, log(2))


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,12]\left(-\infty, \frac{1}{2}\right]
Crece en los intervalos
[12,∞)\left[\frac{1}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
1x−1−1x=0\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−xlog⁡(x)−(1−x)log⁡(1−x))=∞i\lim_{x \to -\infty}\left(- x \log{\left(x \right)} - \left(1 - x\right) \log{\left(1 - x \right)}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−xlog⁡(x)−(1−x)log⁡(1−x))=∞i\lim_{x \to \infty}\left(- x \log{\left(x \right)} - \left(1 - x\right) \log{\left(1 - x \right)}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-x)*log(x) - (1 - x)*log(1 - x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−xlog⁡(x)−(1−x)log⁡(1−x)x)=−iπ\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x \log{\left(x \right)} - \left(1 - x\right) \log{\left(1 - x \right)}}{x}\right) = - i \pi
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−iπxy = - i \pi x
lim⁡x→∞(−xlog⁡(x)−(1−x)log⁡(1−x)x)=iπ\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x \log{\left(x \right)} - \left(1 - x\right) \log{\left(1 - x \right)}}{x}\right) = i \pi
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=iπxy = i \pi x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−xlog⁡(x)−(1−x)log⁡(1−x)=xlog⁡(−x)−(x+1)log⁡(x+1)- x \log{\left(x \right)} - \left(1 - x\right) \log{\left(1 - x \right)} = x \log{\left(- x \right)} - \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}
- No
−xlog⁡(x)−(1−x)log⁡(1−x)=−xlog⁡(−x)+(x+1)log⁡(x+1)- x \log{\left(x \right)} - \left(1 - x\right) \log{\left(1 - x \right)} = - x \log{\left(- x \right)} + \left(x + 1\right) \log{\left(x + 1 \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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