Derivada de x*sqrt(2*x-x^2)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   $g{\left(x \right)} = \sqrt{- x^{2} + 2 x}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = - x^{2} + 2 x$.

   2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(- x^{2} + 2 x\right)$:

      1. diferenciamos $- x^{2} + 2 x$ miembro por miembro:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $2$

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

            Entonces, como resultado: $- 2 x$

         Como resultado de: $2 - 2 x$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{2 - 2 x}{2 \sqrt{- x^{2} + 2 x}}$

   Como resultado de: $\frac{x \left(2 - 2 x\right)}{2 \sqrt{- x^{2} + 2 x}} + \sqrt{- x^{2} + 2 x}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x \left(3 - 2 x\right)}{\sqrt{x \left(2 - x\right)}}$

Respuesta:

$\frac{x \left(3 - 2 x\right)}{\sqrt{x \left(2 - x\right)}}$